湍流是空间上不规则和时间上无秩序的一种具有极高自由度（Re^9/4）的非线性流体运动，对湍流作完全准确的数学描述极其困难，于是人们暂时放弃了对湍流复杂的瞬时流场进行精确描述的打算，而只研究平均运动，这样就建立了湍流平均运动的运动方程，这里所说的平均是指概率意义上的平均，是一种数学期望。

把湍流瞬时量ϕ表示为给定时空点上随机实现的数学期望与所论随机实现的脉动值ϕ′之和

以不可压缩流体控制方程为例，经雷诺概率平均化以后的连续性方程和NS方程，以张量形式表示为

其中

称为雷诺应力；u_i和p分别为速度和压力的数学期望；u′_i为速度脉动值。(www.daowen.com)

可以看到，雷诺方程里多出了与脉动量有关的项。由于对称性，τ_ij实际对应6个不同的雷诺应力项，即3个正应力和3个剪应力。由式（4.1.12）和式（4.1.13）构成不可压缩流体湍流时均运动控制方程组，其中共包含4个方程，10个未知量，即4个时均未知量和6个雷诺应力项，方程组不封闭，必须引入新的湍流方程，才能使方程组封闭。

由于整个湍流场中各物理量的变化极端复杂，而我们所关心是流场平均的统计性能，这就决定了对湍流的研究主要依靠统计的和平均的方法。后者称为半经验理论，也称为湍流模式理论。湍流模式理论就是以雷诺平均运动方程与脉动运动方程为基础，依靠理论与经验的结合，引入一系列模型假设，使雷诺平均运动方程得以封闭，即解决封闭性问题。湍流模式理论的基本弱点是缺少健全的物理基础，有较强的经验性和局限性，对于增进湍流机理的了解并没有更多的贡献，但对于解决工程实际问题却发挥了极其重要的作用。目前，湍流模式理论是工程应用最主要的数值预测方法，其中最常使用的是二方程模式。二方程模式由于具备相对较好的物理基础，实际应用表明它可以较为全面地反映湍流的细节，因此得到了越来越多的重视，工程上主要采用Kε模式，因为在所有二方程模式中，Kε模式的应用及所经受的检验最为普遍，标准Kε模式已经成功地应用于多种复杂流场的计算，如射流、尾迹和边界层分离流动，这里对Kε模式进行简单介绍。

以K表示均方湍流动能，以ε表示单位质量的平均湍流动能耗散率，可建立均方湍流动能的输运模式方程组

式中的各系数，一般取σ₁=1.44，σ₂=1.92，σ_k=1.0，σ_ε=1.3，C_μ=0.09，其他符号同前。