经过修正后的有限元方程为

A_n^∗_mu_m=f_n^∗（n=1，2，…，N）应该指出，自有限元方法产生以来，人们已注意到有限元方程中的系数矩阵含有大量的零元素。矩阵{A_n^∗_m}中的任一行，如第n行元素A_n^∗_k，只有当它的列下标k和行下标n为同一个单元中的结点序号时，才可能是非零元素，否则都是零元素。因此只要序号编排适当，{A_n^∗_m}将可能是一个只在对角线附近有少量非零元素的带状稀疏矩阵，即只在对角线附近一定宽度的带状之内，才可能有非零元素。带状区域之外全是零元素。这样就可以采用带状矩阵的存储格式，压缩元素储存量。若方程所对应的算子是对称的，则所获得总体系数矩阵也是对称的，对于大型的对称稀疏矩阵，在矩阵元素的储存方式上还可作进一步改进，只需要将带宽区域内的元素储存起来就可以了。

由偏微分方程建立起来的有限元方程，可能是线性的或非线性的，也可能是定常的或非定常的。对于不同性质的问题，将得到不同性质的有限元方程，求解的方法也将是不同的，下面讨论有关有限元方程组求解的一些问题。

应用有限元法求解工程问题，很多属于线性微分方程问题，或者经过适当的处理可化为线性问题，相应地建立一个线性的有限元方程组，一般写为

Au=B （3.9.18）对于线性的方程组（3.9.18），根据系数矩阵和右端项的不同情况，通常在两种情况下有解，现分别加以讨论。

（1）非奇异的线性代数方程组

若线性代数方程组（3.9.18）的系数矩阵是非奇异的，即该矩阵的行列式A≠0，则方程组式（3.9.18）存在唯一解

u=A^-1B （3.9.19）

求解线性代数方程组的方法很多，有各种消去法、迭代法等，可根据具体情况选用。

（2）齐次线性代数方程组

如果有限元方程的右端项全为零，则得齐次方程组

Au=0 （3.9.20）这时，如果系数矩阵A的行列式A≠0，则存在A的逆矩阵A^-1，那么式（3.9.20）只有无意义的零解。只有当A=0时，式（3.9.20）才有非零解。齐次线性代数方程的求解通常都是针对下面典型的形式进行的

Au=λu （3.9.21）

可改写为

（A-λI）u=0

它的展开式为

该方程组存在非零解的条件是

这是关于λ的n次方程，称为特征方程。解方程组（3.9.23）可得到n个根λ_i（i=1，2，…，n），λ_i称为特征值。对于每一个特征值λ_i，由方程组（3.9.23）可求得相应的非零解u，称为特征向量。求解特征方程的方法很多，可根据具体问题选用一种合适的求解方法。

一般情况下，采用有限元法求解稳态问题，最后得到的线性方程组系数矩阵A是正定对称矩阵，这里介绍一种特别适合这种矩阵特点的直接解法——平方根法。

假设我们要解的方程组为

Au=b （3.9.24）(www.daowen.com)

其中，A为实对称正定矩阵，A=A^T。

若A的某个三角形分解式为

A=LU （3.9.25）

式中，L为上三角矩阵；U为下三角矩阵。

根据矩阵乘积转置的运算法则，有

A^T=L^TU^T

且

LU=L^TU^T

在上式等号两端同时左乘L^-1及右乘L^-T，有

UL^-T=L^-1U^T （3.9.26）

其中，L^-T为矩阵L^T的逆，根据线性代数有关定理，上（下）三角矩阵的逆仍然是上（下）三角矩阵，上（下）三角矩阵与上（下）三角矩阵的乘积仍然是上（下）三角矩阵。这样，式（3.9.26）等号左边为上三角矩阵，等号右边为下三角矩阵，等号成立的条件必然是两边均为对角矩阵D，即

UL^-T=L^-1U^T=D

由此，得

U=DL^T

代入式（3.9.25），得

A=LDL^T

令

则A的分解式可写作

对于对称正定的大型稀疏矩阵A，可采用一维变带宽储存方式。考虑到每行带宽不同，因此要增设一个数组K，专门用来存放矩阵A的对角元素在一维排列中的地址和长度。一维变带宽储存，总体存储量被紧缩，且在矩阵三角分解过程中，原来矩阵的存区与三角阵、对称阵存区可重叠，避免占用大量的中间工作单元，节约内存。结合一维变带宽储存的平方根法与迭代法相比，前者可减少计算的舍入误差，易于建立通用程序，可较准确地估计计算时间，算法过程明晰，是目前在计算机上解决有限元问题的最有效方法之一，但这种方法占用内存比迭代法稍大。