1.基本单元及其应用特点

前已述及，基本单元是指边界平直的子区域，只取它的顶点为单元的结点，且只用结点的待定函数作为结点参数值，基本单元内的插值函数是拉格朗日多项式。基本单元的近似函数和坐标的各分量可以表示为

其中，i=1，2，…，r为单元的结点序号，r为单元的结点数。单元结点的整体坐标为（x_i，y_i，z_i）（i=1，2，…，r），局部坐标为（ξ_i，η_i，ζ_i）（i=1，2，…，r），插值函数N可写为局部坐标的函数，也可变换为整体坐标的函数。

基本单元具有下面的应用特点：

1）基本单元的形态简洁，应用广泛，坐标变换和插值函数都是线性的，且具有相同的模式，基本单元在相邻公共边界上是相容的，保持函数是连续的。

2）基本单元在单元分析中，对整体坐标的微分和积分运算改用对局部坐标的运算，这需要用到坐标变换。基本单元的局部坐标是无因次的自然坐标，它与直角坐标之间的对应关系可用形函数表示出来。在局部坐标系中单元是规则的，形函数容易构成，故此法还可推广到其他类型的单元。

3）为了提高计算精度，三角形单元和四面体单元不应取得太尖太扁，四边形和六面体单元应取凸形的，且不应太尖太扁。

基本单元常用的单元形状有一维二结点直线段，二维三结点三角形和四结点四边形，三维四结点四面体和八结点六面体等。用在这类单元上的插值函数是线性、双线性或三线性的多项式，下面我们来讨论这些单元的插值函数。

2.二结点直线段单元

这种单元的拉格朗日插值多项式只有两项，取

N_i（x）=a_i+b_ix（i=1，2） （3.4.8）

由插值条件式（3.4.3），有

a_i+b_ix_j=δ_ij

单元两个结点的坐标为x₁，x₂，令上式中的i，j分别取1和2，可解得系数a_i，b_i，代回式（3.4.8），即得插值形函数

前面已经讨论过，有限元法的单元分析一般采取有普遍意义的无量纲局部坐标，如图3.4.2所示。若原点取在结点1上，作变换

则插值函数式（3.4.9）可改写为

图3.4.2 一维两结点线性插值单元

若原点取在单元的中点，可作变换

插值函数为

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可以看到，插值函数式（3.4.9）和式（3.3.1）中的长度坐标相同，插值函数式（3.4.11）和式（3.3.7）中的长度坐标相同。实际上，可以直接取自然坐标为插值函数。有了插值函数，一维基本单元的近似函数根据式（3.4.6）可写为

3.三结点直线段单元

这种单元的自由度为3，采用3个系数的拉格朗日线性插值多项式

N_i=a_i+b_ix+c_iy（i=1，2，3） （3.4.12）

应用插值条件式（3.4.2），可得

a_i+b_ix_j+c_iy_j=δ_ij

其中，i，j分别取三角形单元的结点序号1，2，3，可求得系数a_i，b_i，c_i，将这些系数代回式（3.4.12），便可得到插值函数，所得的插值函数完全与式（3.3.13）、（3.3.14）的自然坐标相同，这说明三结点三角形单元的插值函数N_i可直接取自式（3.3.14）中的面积坐标L_i。根据式（3.4.6），单元的近似函数为

4.四结点四边形单元

四结点四边形单元具有四个自由度，如图3.3.8所示，可取插值函数为

N_i=a_i+b_iξ+c_iη+d_iξη（i=1，2，3，4） （3.4.13）

根据图3.3.8所示的结点序号和局部坐标，将式（3.4.13）在各结点上取值，并按插值条件，得

N_i（ξ_i，ηi）=δ_ij（i，j=1，2，3，4）

可建立求解a_i，b_i，c_i，d_i等系数的代数方程组，解出上述系数并代回式（3.4.13），即可得到插值函数，其结果与式（3.3.19）完全相同，这时单元的近似函数为

其中，L_i按式（3.3.19）取值。

5.四结点四面体单元

四结点四面体单元的结点位置和序号如图3.3.10所示，相应的拉格朗日线性插值函数可取

N_i=L_i（i=1，2，3，4）其中，自然坐标L_i取式（3.3.24）的体积坐标。

6.八结点六面体单元

八结点六面体单元可以通过式（3.3.27）的变换关系式和自然坐标系中的正立方母单元进行变换，参见图3.3.12。单元的插值函数取式（3.3.28）中的自然坐标

N_i=L_i（i=1，2，…，8）

单元中的近似函数为