应用求解变分问题的有限元法求问题的近似解，只能用于求解存在泛函的微分方程问题，对于难以找到或根本不存在泛函的微分方程问题，则无法应用变分法求解，但可以应用加权余量法进行求解，加权余量法直接由微分方程来建立有限元方程。

仍考虑微分方程式（3.2.1）及其边界条件式（3.2.2）的求解问题，设u是近似解，将它代入方程（3.2.1）后，将产生余量

R=L（u）-f≠0 （3.2.16）

根据加权余量法，取权函数，令余量R在全域内的加权积分式等于零，即

即在某种平均意义上使余量等于零。

用加权余量法建立有限元方程时，将求解区域D划分为有限多个单元，在单元中也取形如式（3.2.11）的近似解。因方程式（3.2.1）对求解域内任一点均成立，对整个计算域各单元也成立。将积分式（3.2.17）写成各单元子域的积分之和，并将单元近似解式（3.2.11）代入，得

其中，m为单元数。对于n个未知量，当选定n个权函数W_i后，由式（3.2.18）可建立由n个有限元方程式组成的方程组，最后便可求得n个结点未知量u_j。

在式（3.2.18）中采用不同的权函数W_i，可以有不同的加权余量法。若取权函数等于插值函数，即令W_i=δu_i=N_i，便是伽辽金法。现令W_i=N_i，由式（3.2.18）可得方程式(www.daowen.com)

由权方程式（3.2.18）建立的有限元积分方程中，微分算子出现在了积分符号中，这与变分法所建立起来的有限元积分方程相比，有更高阶次的微分，这对问题的求解是不利的，但通常可应用分部积分和高斯公式来降低积分号内的微分阶次。例如，对于式（3.2.6）和式（3.2.7）关于拉普拉斯方程的边值问题，由加权余量法可写出

对上式进行分部积分，并运用高斯公式，得

即

式（3.2.21）是关于拉普拉斯方程加权余量式的弱积分式，而式（3.2.20）是强积分式。加权积分式（3.2.21）中积分符号内的微分算子较式（3.2.20）中的低一阶。

将式（3.2.21）写成各单元的积分之和，并取权函数W=δu，考虑到Γ₁上δu≡0，可得

式（3.2.22）与应用变分法构建的有限元积分方程式（3.2.10）一致。