根据变分原理和加权余量法建立起来的里兹法和伽辽金法等方法早在20世纪初就已经出现了，但一直没得到充分应用，原因是应用这些方法时还存在两个困难。第一个困难是，如何在全域内选择一个线性无关的完备函数序列，既要求它满足齐次边界条件，又要求有足够的连续可微性，如果是非齐次的边值问题，则还必须构造满足非齐次边界条件的特解，这对边界形状复杂的问题来说，选择满足这些条件的函数序列很难实现。第二个困难是，将所选函数序列线性组合所构成的近似函数代入积分表达式中时，在全域对其进行积分计算非常繁琐，特别是对复杂的区域，其计算更加困难。鉴于此，研究者按有限差分法的网格化原理，把求解区域划分为有限多个被称为单元的子域，同时参考直接解法的逼近方式，将里兹法或加权余量法应用到分块逼近中去，从而解决了上述困难，并形成如今得到广泛应用的有限元法。所谓有限元法，就是在变分法或加权余量法的基础上，采用分块逼近的办法建立起来的一种数值计算方法。

有限差分法的缺点是局限于规则的差分网格，只看到了结点的作用，对于把结点联结起来的单元的本身特性不予注意，而正是由单元构成了计算域，有限元法恰恰是抓住了单元的贡献，使得这种方法具有很大的灵活性和适应性，它吸取了有限差分法中离散处理的内核，又继承了在变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。在有限元法中，基函数的定义和积分计算范围，不针对整个计算域，而是针对区域中划分出来的单元，这就克服了变分计算中的缺点，还由于对单元作积分计算，充分估计不同单元对结点参数的不同贡献，从而克服了有限差分法中不考虑单元本身特性的缺点。

用有限元法求解问题时，将需要求解问题的区域进行离散化，即将求解域划分为许多几何形状简单规则的单元子域，并参考直接解法的逼近方式，在单元内用一个比较简单的解析函数来逼近微分方程的解，这个函数称为单元的近似函数，或叫做插值函数，也就是在单元内用一个选定的基函数和结点参数的线性组合来代替问题的解，其中结点参数值是待定的，这样，每个单元只要有适当数量的结点参数值，就可以满足对插值函数的光滑性和精度的要求。然后，在满足微分方程和相应的初边值条件下，对全部子域进行积分，总体合成，并建立有限元方程组。这样就把微分方程的定解问题化为求解代数方程组的问题，求解该代数方程组便可得到结点参数值，进而由近似函数表达式求得各单元内任意点的近似解。(www.daowen.com)

在有限元法中，各单元采用统一形式的插值函数，便于单元的分析运算。单元插值函数一般采用以单元中各结点坐标值作为参数的多项式，称为形状函数或形函数。单元插值函数的构造原则是使每个单元结点都有一个形函数，且在该结点上其函数值或导数值为1，而在其他结点上则为0，单元中的近似函数是由单元结点形函数的线性组合构成的，线性组合的系数正是求解函数在相应结点上的函数值或导数值。为了便于计算机处理，各单元的插值函数是相同的，每个单元的有限元方程式都具有相同的形式。单元近似函数只要求满足基本控制方程，不要求满足边界条件，边界条件通常是在建立总体有限元方程时，按一定规则进行处理之后得到满足。

有限元法与有限差分法的主要区别在于有限差分法是点近似，用离散的网格结点上的值来近似表达连续函数值，而有限元法是分片近似，即在一片内用一近似函数表达微分方程的解，在单元内近似解是连续解析的，在单元间近似解是连续的，有限元法得到的是一个充分光滑的近似解，在单元内导数存在，在单元之间的边界上解满足相容性条件，有限差分法一般不能保证解的光滑性。有限差分法的收敛性定义是，当步长趋近于零时，域内任一结点处的差分解是否趋近于偏微分方程在该点的精确解，而有限元法的收敛性根据积分的收敛特性定义，即由误差的加权积分来定义，而不是根据点定义的。此外，有限元法对于求解区域的单元剖分没有特别的限制，特别适于处理具有复杂边界的实际问题，并可根据问题的性质，合理安排单元的疏密，较容易处理未知的自由边界和不同介质的交界面。