里兹法只适用于求解正定算子的算子方程，无法用于非线性问题。但很多工程中的问题是非线性的，例如在流体力学中，由于对流项的存在，方程一般是非线性的。对于非线性问题进行有限元分析时，可采用伽辽金法。本节通过一个具体的非线性问题介绍伽辽金法求解非线性问题的特点。

考虑一维的浓度对流扩散的衰减问题

式中，v是流体速度；D是扩散系数；k，s是衰减系数；未知函数u表示介质浓度。式（2.7.1）中的泛定方程等式左端是对流项，右端第一项是扩散项，第二项是衰减源项。式（2.7.1）中的第二个等式为强加边界条件，第三个等式为是自然边界条件。为讨论方便，假定

v=D=k=l=1，s=2于是有

相应上述边值问题的伽辽金弱解表达式为

取基函数φ₁=x，φ₂=x²，因强加边界条件是非齐次的，取特解φ₀=1，于是近似解为(www.daowen.com)

u=1+α₁x+α²₂x² （2.7.3）

其中，α₁，α₂为待定系数。将式（2.7.3）代入式（2.7.2）中，得

积分后即得下列非线性代数方程组

当采用伽辽金法求解线性问题时，最后形成的代数方程组是线性代数方程组，而现在形成的关于近似解待定系数α₁，α₂的代数方程组则是非线性的，这正是非线性问题的特点，非线性问题的复杂与困难也是源于这个特点。一般地，求解非线性代数方程组，如果采用近似的数值计算方法，计算量要比线性问题大得多。采用伽辽金法求解非线性问题，最后归结为求解非线性代数方程组，非线性代数方程组的解法有多种，如牛顿迭代法等，这里对此不做详细介绍。