非定常初值问题由于时间t作为自变量，所以近似解的确定比定常问题要复杂得多。我们一般只把基函数取为空间坐标x，y的函数，而系数是时间t的函数。对于非齐次强加边界条件，一般需要增加一个满足非齐次强加边界条件的特解u_s（x，y，t）。一般情况下，近似解的形式为

其中，基函数φ_k（k=1，2，…，n）应满足齐次强加边界条件及一定的连续可微性要求，而α_k（t）是待定的未知函数，确定了α_k（t），就可获得近似解。为此，可将近似解表达式（2.6.5）代入伽辽金积分表达式中，积分计算后就可形成含有α₁（t），α₂（t），…，α_n（t）的常微分方程组。于是，问题归结为如何求解常微分方程组，此时的困难是如何将方程组的初值条件转化为φ_k（k=1，2，…）的初值条件，解决的办法是通过令初值余量函数与权函数正交来实现。

下面以两个定解问题为例加以说明，先讨论一个只含有时间变量的常微分方程初值问题

采用伽辽金法求解这种只含有时间t的初值问题，一般是将求解的时间分成若干间隔为Δt的区间，逐步计算求解。设u的初值为u₀，Δt终了时的值u=u₁是未知待求量。考虑最简单的满足初值条件的线性近似解

式中，t为基函数，而余量为

使初值的余量函数与权函数正交，得伽辽金积分表达式为

即

积分后即得含有u₁的代数方程

解得

于是，得到在0≤t≤Δt时间间隔内，u的线性近似解为

如果记t_n=nΔt，u_n=u（t_n）（n=0，1，2，…），则对任一时间区间t_n≤t≤t_n+1（n=0，1，2，…）的线性近似解的迭代递推公式为

下面再讨论一个抛物型偏微分方程的初值问题

伽辽金积分表达式为

因定解条件中无自然边界条件，式（2.6.6）也就是伽辽金法的强解积分表达式。考虑到初始值是二次函数形式，可假定近似解为

u（x，t）=α（t）（1-x²）（2.6.7）将式（2.6.7）代入式（2.6.6），得(www.daowen.com)

积分后得常微分方程

将式（2.6.7）代入初值条件，即可获得常微分方程式（2.6.8）的初始条件为

α（t）|_t=0=u₀

接下来采用伽辽金法求解常微分方程式（2.6.8），假定在时间Δt式内，α（t）的近似解为

α（t）=u₀（1+βt） （2.6.9）

式中，u₀保证近似解满足非齐次的初始条件α（0）=u₀；t是基函数；β是待定系数。使初值的余量函数与基函数正交，得伽辽金积分表达式为

将式（2.6.9）代入相应于式（2.6.8）的伽辽金积分表达式中，有

积分后，得

代回到式（2.6.9），即得α（t）的近似解

在0≤t≤Δt时间间隔内，u的线性近似解为

令t₁=Δt，t₂=2Δt，…，t_n=nΔt，并将u（1）（x，t）的终了值u（1）=u（1）（x，t₁）作为下一时间间隔t₁≤t≤t₂的初值，有

如此迭代，可计算出对任一时间区间t_n≤t≤t_n+1（n=0，1，2，…）的线性近似解的迭代递推公式

其中，u_n=u（n）（t_n）（n=0，1，2，…）。

从以上非定常问题的求解可以看出，伽辽金法求出的近似解是分区间的解析近似解，而不是各个时间离散点上的离散近似解，这是伽辽金法和下一章将要介绍的有限元法区别于有限差分法的一个重要特点。