对于式（2.4.1），即L（u）-f=0，若微分算子L是对称正定的，则伽辽金法与里兹法是等价的。事实上，因为微分算子L对称正定，里兹法的泛函式（2.3.22）为

J（u）=＜L（u），u＞-2＜f，u＞

取变分，得

δJ（u）=δ[＜L（u），u＞-2＜f，u＞]

=＜L（δu），u＞+＜L（u），δu＞-2＜f，δu＞

=2[＜L（u），δu＞-＜f，δu＞]

=2＜L（u）-f，δu＞=0

因此，里兹法的积分表达式为

其中，权函数δu是未知函数的变分。若将里兹法的近似函数表示为基函数的线性组合，即(www.daowen.com)

u=α_iφ_i

其中，φ_i是给定的基函数，α_i是待定未知函数。于是

δu=φ_iδα_i

代入积分表达式（2.4.20），得

这和伽辽金法的积分表达式是一致的，但在伽辽金法中δu=φ_i。

另一方面，考虑到L是对称正定算子，由式（2.4.20）可得

从上述推导中可以看出，当算子对称正定时，伽辽金法和里兹法等价，因此由伽辽金法的积分表达式所推导出的代数方程组与采用里兹法推得的代数方程组是一致的，当然最后的结果也相同。习惯上，一般将伽辽金法的积分写成式（2.4.20）式的形式。由于伽辽金法的积分表达式不仅在算子对称正定的情形下等价于里兹法中的变分表达式，且对于一般的算子方程也可进行计算，因此它具有较强的适应性。伽辽金法在数学原理上不同于里兹法的变分原理，但在算子对称正定情况下与里兹法等价，又能处理里兹法不能处理的问题，因此一般也将伽辽金法看做里兹法的推广。