加权余量法可不受限制地对一般微分方程建立积分方程，并转化为代数方程组，得到微分方程的近似解，下面讨论加权余量法的基本思想。

考虑微分方程

L（u）=f（在域D内） （2.4.1）

满足边界条件

B（u）=0（在边界Γ上） （2.4.2）

其中，B为微分算子。现取微分方程式（2.4.1）的近似解u为

其中，α_i为待定系数，φ_i为取自完备函数系列的线性独立函数，称为基函数。所谓完备函数系列是指任一函数都可用此系列表示。近似解式（2.4.3）应满足边界条件式（2.4.2），但不一定满足微分方程式（2.4.1），因此，将近似解代入微分方程，将产生称为余量的误差函数

R=L（u）-f≠0 （2.4.4）

若式（2.4.4）中的u为精确解，则余量R等于零，但一般情况下，要使域内处处满足R=0的条件是很困难的，而若使R=0在域D内的平均值等于零，则是能够做到的，即(www.daowen.com)

由于D≠0，故得

将多项式（2.4.3）代入式（2.4.5），不难解出这个积分式，从而求得式（2.4.3）中的系数，但存在一个问题，若式（2.4.5）只有一个方程，则只能解得一个系数α₁，即多项式（2.4.3）只能取一项，这样精度就较差。为了提高精度，希望式（2.4.3）是一个多项式，即要求式（2.4.5）是一个方程组，于是，就提出了加权余量法的概念。

虽然余量R≠0，但我们可以使其在一定意义下极小化，从而使所得近似函数对精确解而言是一良好的近似。为此，常取定一组加权函数，使余量的加权积分值等于零，即

其中，＜R，W_i＞D为R和W_i的内积，W_i为权函数。

将近似解多项式（2.4.3）代入式（2.4.6）中，并选择n个权函数W_i（i=1，2，…，n），即可形成以α₁，α₂，…，α_n为未知量的代数方程组

求解以上代数方程组，可获得系数α_j（j=1，2，…，n），于是得到方程的近似解。

在加权余量法中，权函数W_i的选取是很重要的，它与所求近似解的精度关系很大，权函数W_i用不同的方式选取，代表着不同的误差分配，由此产生出不同的加权余量法。下面分别介绍常用的加权余量法，主要有配置法、子区域法、最小二乘法、矩法和伽辽金（Галёркин）法。