在第1章介绍过微分算子和差分算子，本节对算子作进一步介绍。

1.内积

对于域Ω=D+Γ中的函数u和v，称

为u和v的内积。内积是一个实数，容易验证内积具有以下性质：

＜u，v＞=＜v，u＞

＜C₁u₁+C₂u₂，v＞=C₁＜u₁，v＞+C₂＜u₂，v＞

＜u，u＞≥0，且等式＜u，u＞=0，当且仅当u≡0时成立。其中，u，v，u₁和u₂是Ω中的任意函数，C₁和C₂为任意实数。

2.算子

若某一集合D与另一集合S建立了某种一一对应的关系，即D中任一元素u对应于S中的一个元素Lu，则称L为算子。集合D称为算子L的定义域，集合S称为算子L的值域。对于拉普拉斯算子

定义域D是所有二次可微函数的集合，值域S是微分后生成的函数集合。

对于一般微分算子L，我们只讨论下列几种：

线性算子 若对于任意实数α和β，算子L具有性质

L（αu₁+βu₂）=αL（u₁）+βL（u₂）

则称L为线性算子，其中，u₁和u₂∈D，αu₁+βu₂∈D。

对称算子 若对于线性算子L，定义域中的任意两个元素u和v，都有

＜L（u），v＞=＜u，L（v）＞

则称L为对称算子，其中，u和v∈D。

正定算子 若对于线性算子L定义域中的任意一个非零元素u，都有

＜L（u），u＞＞0

则称L为正定算子，其中，u∈D。

算子方程 如果在算子L的值域S中给定一个元素f，则称等式

L（u）=f

为算子方程，其中，u∈D。

考虑如下的二阶常微方程的边值问题

假定p（x）在区间[a，b]上连续，且一阶可导，q（x）和f（x）在区间[a，b]上连续，并且p（x）＞0，q（x）≥0。求函数y（x），要求在区间[a，b]上连续，且二阶可导。

现在我们尝试构造泛函

J（y）=＜L（y），y＞-2＜f，y＞ （2.3.16）

其中，

我们可以得到，算子L是对称正定的线性算子。先讨论其对称性，事实上，对于任意一个函数z（x）∈D，应用分部积分公式以及式（2.3.15），有

可见，算子L是对称的。再看正定性，为此，令上式中的z（x）=y（x），有

可以看出，由于p（x）＞0，q（x）≥0，得

＜L（y），y＞≥0

若＜L（y），y＞=0，即有

p（x）[y′（x）]²+q（x）[y（x）]²=0

于是

y′（x）=0

进而得

y（x）=C（C为常数）

而边界条件y_x=a=0，得

y（x）=0

可见，算子L是正定的。(www.daowen.com)

本节最后我们将证明，如果L是对称正定线性算子，那么使得泛函式（2.3.16）取得极小值的函数y（x）就是微分方程式（2.3.14）定解问题的解。

下面我们来证明泊松方程的算子L也是对称正定线性算子。对于二维情况

u|_Γ=0 （2.3.18）

要求函数u（x，y）在求解域D内有连续二阶偏导数，在域D内和边界Γ上连续。设函数v（x，y）在求解域D内有连续二阶偏导数，根据内积的定义及格林公式，有

由于v满足定解问题的边界条件，故上式的边界积分项为零，于是

观察式（2.3.19）可见，等式右端关于u和v是对称的，所以有

＜L（u），v＞=＜L（v），u＞

因此，泊松方程的算子是对称的。再看正定性，为此，令式（2.3.19）中的u=v，有

对于式（2.3.19），当＜-Δu，v＞=0时，u（x，y）的一阶偏导数等于零，也就是u（x，y）为常数，根据该函数的边界条件得出u（x，y）Γ=0，于是得出，泊松方程的算子为正定算子。

3.椭圆型方程边值问题和相应变分问题的等价性

定理 设L是对称正线性算子，若算子方程

L（u）=f（u∈D） （2.3.21）

存在解u=u₀，则u₀所满足的充要条件是泛函

在u=u₀处取极小值。

证明 先证明必要性，即若u=u₀是算子方程式（2.3.21），则有

L（u₀）-f=0

对D中任意函数

u=u₀+εη

其中，η为任意连续函数；ε为一绝对值较小的参变量，且与变量x和y等无关。于是

J（u）=J（u₀+εη）

=＜L（u₀+εη），u₀+εη＞-2＜f，u₀+εη＞

因L是对称正定算子，根据内积性质，上式可以展开

J（u）=＜L（u₀），u₀＞+＜L（u₀），εη＞+＜L（εη），u₀＞+＜L（εη），εη＞-2＜f，εη＞-2＜f，u₀＞

=J（u₀）+＜L（εη），εη＞+＜L（εη），u₀＞+＜L（u₀），εη＞-2＜f，εη＞

=J（u₀）+＜L（εη），εη＞+2＜L（u₀），εη＞-2＜f，εη＞

=J（u₀）+＜L（εη），εη＞+2＜L（u₀）-f，εη＞

由于L（u₀）-f=0，又从正定算子定义

＜L（εη），εη＞0

于是

J（u）＞J（u₀）

这说明泛函J（u），在u=u₀时取极小值。

再证明充分性。因u=u₀时，J（u）取极小值，于是

因L是对称正定算子，有

J（u₀+εη）=J（u₀）+＜L（εη），εη＞+2＜L（u₀），εη＞-2＜f，εη＞

=J（u₀）+ε²＜L（η），η＞+2ε＜L（u₀）-f，η＞

于是

由于_η为任意连续函数，因此有

L（u₀）-f=0

即u₀是方程式（2.3.21）的解。（定理证毕）

这样，就得到一个重要结论，对同一个物理过程，存在两种互为等价的数学提法，即在满足边界条件下的微分方程提法和变分提法。泛函的变分计算可以通过微分方程求解来代替，而微分方程的求解也可通过泛函的变分计算来代替。一般说来，若算子是正定对称，则采用里兹法，可以证明只要近似解构成的函数序列{u_n}是泛函的极小化序列，则u_n收敛于算子方程的精确解。