除了前文介绍的两端点固定的变分问题外，还有极值曲线的一端或两端可在已知曲线上移动的变分问题，称为可动端点的变分问题。例如，在前面讨论的最速下降线问题中，如图2.1.2所示，点A固定不动，点B可在x₂=a的竖直线上移动。当点B在任一给定位置时都可得到一条极值曲线，这就是固定端点极值曲线。所谓可动端点变分问题，就是对上述这些极值曲线上再作一比较，以求出B在哪一高度时的降落时间最短。所以，可动端点的极值曲线是从一系列固定边界的极值曲线中挑选出来的，因此，固定端点极值曲线应该满足的欧拉方程，在这里仍应满足。

可动端点的变分问题与固定端点的变分问题基本相同，仍要对泛函求极值曲线，差别在于极值曲线必须满足的边界条件中，只有y（x₁）=y₁。由于点B的y坐标不固定，因此，作比较函数时，所选用的任意光滑连续η（x），只有η（x₁）=0，而η（x₂）≠0。经过与上述类似的变分推导后得到

这里_η（x₁）=0，η（x₂）≠0，于是，上式成为

因欧拉方程必须满足，即

这样就得到

式（2.2.11）称为自然边界条件。欧拉方程是极值曲线必须满足的条件，求解欧拉微分方程可得两个积分常数，利用边界条件y（x₁）=y₁可以确定一个，另一个由式（2.2.11）的自然边界条件来确定。例如，对于最速下降线问题。若求从原点（0，0）自由下滑到直线x₂=a，前面已得到

现在仍然有效，在前面的求解过程中，常数C₂是已由固定点A（0，0）确定，现用自然边界条件确定C₁。由

得(www.daowen.com)

利用式（2.2.11），得y′_x=a=0，即

但

而

因，故，于是，即，又因C₁≠0，于是，有

其中，θ_x=a=0不合理舍去。若取最简值θ_x=a=π，代入，得。

最终得到极值曲线方程为