为了进一步理解泛函和变分的概念，下面对照函数的基本概念来介绍变分的基本概念。

1.函数定义与泛函定义

对函数来说，给定两个数集X和Y，x是X中的变量，y是Y中的变量。若存在一个对应关系，使x的每一个值都与y的某个值相对应，则称y是x函数，记为y=f（x）。X是函数的定义域，Y是函数的值域。

对泛函来说，给定满足一定条件的函数集合R₁{y（x）}和实数集合R₂，y（x）是R₁中的变量，J是R₂中的变量。若存在一个对应关系，使R₁中每一个函数y（x）都有R₂中的变量J与之相对应，则称变量J是y（x）的泛函，记为J=J[y（x）]。其中，y（x）是自变量，它是一个函数，J是因变量，它是一个实数。R₁是泛函的定义域，R₂是泛函的值域。由此可见，函数是因变量与自变量之间的关系，而泛函是因变量与函数之间的关系，可简单理解泛函是函数的函数，两种概念必须严格区分。还要指出，不能把复合函数与泛函混淆。在复合函数中，因变量是通过中间变量而依赖于自变量的，因变量与自变量之间有一一对应的关系。但在泛函中，因变量直接依赖于函数，与函数中的自变量没有对应关系，因给定一个自变量后，就有一个对应的函数，而由一个具体的函数值却不能给出一个泛函值。

2.函数的连续与泛函的连续

对函数y=y（x）来说，若对于自变量x的微小改变，有函数y（x）的微小改变与其对应，则函数y（x）连续。

对泛函J=J[y（x）]来说，若对于自变量y（x）的微小改变，有泛函J[y（x）]的微小改变与其对应，则泛函J[y（x）]连续。

可见，泛函的连续与函数的连续类似，但需要明确泛函的自变量，即函数y（x）的微小改变的含义。若有两条同类曲线y=y（x）和y₁=y₁（x），自变量的微小改变是指使y=y（x）和y₁=y₁（x）有定义的一切x值y（x）和y₁（x）之差的模要很小，即曲线y=y（x）和另一条曲线y₁=y₁（x）的纵坐标之间很接近，如图2.1.3所示。有时不但纵坐标之间要接近，而且在对应点处的切线方向之间也要接近，即要求|y（x）-y₁（x）|与|y′（x）-y₁′（x）|都要很小，如图2.1.4所示。当|y（x）-y₁（x）|很小时，称曲线y=y（x）和y₁=y₁（x）有零阶接近度，当|y（x）-y₁（x）|与|y′（x）-y₁′（x）|都很小时，称曲线y=y（x）和y₁=y₁（x）有一阶接近度，依此类推。

图2.1.3 零阶接近度

图2.1.4 一阶接近度

3.函数的微分与泛函的变分

先看函数的增量与泛函自变量的变分。对函数y=f（x）来说，自变量取增量Δx，相应地函数也有一增量Δy，即

Δy=f（x+Δx）-f（x）可见，函数的增量Δy是指同一条曲线y（x）上在x与x+Δx两点间的函数值之差。

对泛函J=J[y（x）]来说，自变量y（x）的增量是指y（x）与y₁（x）两个函数值之差，并记为δy，即

δy=y（x）-y₁（x）

当泛函的宗量y（x）有增量或变分Δy（x）=δy（x）时，则J[y（x）+δy（x）]-J[y（x）]就是泛函的增量，但泛函的增量，即使很小也不等于泛函的变分，这和函数的增量不等于函数的微分是一样的。

我们来讨论最简单的情况，例如，式（2.1.3）给出的泛函

设想函数y（x）稍有变动，变为y+δy，则泛函的值也随之而变，变动的大小为

上式中，约等于号右端就是泛函J[y（x）]的变分，记作δJ[y（x）]，即

考虑泛函J（y，y′），其中，y=y（x）是泛函J在定义域R₁中的函数。设η=η（x）是R₁中的任一函数，ε是一个任意小的常量，泛函增量为

ΔJ=J（y+εη，y′+εη′）-J（y，y′）

显然可将J（y+εη，y′+εη′）对ε进行Taylor展开，即

于是

式中，省略号包含ε²，ε³，…等高阶小量项。该泛函增量表达式中的线性项就定义为泛函J的变分，记为

按照变分的这个定义，有

δy=εη，δy′=εη′

于是，得

对于一般情形，若泛函

J=J[y₁，y₂，…，y_n，y₁′，y₂′，…，y_n′，…，y1^（k），y₂^（k），…，y_n^（k）]

则变分表达式为

式中，下标i=1，2，…，n，且规定，若某项的下标重复时，就意味着它是n项求和，例如

4.函数的极值与泛函的极值

对函数y=f（x）来说，如果函数f（x）在点x₀的值f（x₀）比它在点x₀的适当小的邻域内各点的值都要大或都要小，即f（x₀）＞f（x）或f（x₀）＜f（x），则f（x₀）就是函数f（x）的极大值或极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。

对泛函J=J[y（x）]来说，如果泛函J[y（x）]相应于某一条曲线y₀（x）的值J[y₀（x）]比相应于与y₀（x）接近的任一条曲线的值都要大或都要小，即J[y₀（x）]＞J[y（x）]或J[y₀（x）]＜J[y（x）]，则J[y₀（x）]就是泛函J[y（x）]的极大值或极小值。同样，泛函的极大值与极小值统称为泛函的极值。

与函数求极值必须满足dy/dx=0的概念相似，取泛函J的极值时，也必须满足δJ/δy=0。为加深对极值的理解，我们引入拉格朗日（Lagrange）给出的微分定义。

定义 对函数y（x），若固定Δx，而ε为一小参变量，则函数的增量为

Δy=y（x+εΔx）-y（x）

函数的微分

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根据复合函数y（x+εΔx）的求导法则，有

得

式中，因Δx为固定值，函数取极值，必有y′（x）=0，于是，得到函数取极值的条件为

与此类似，变分命题就是泛函极值问题，为了便于说明，我们从最简单的固定端点问题的变分入手。如图2.1.5所示，首先找一任意光滑具有二阶导数的连续函数η（x），称其为比较函数，并使η（x）满足η（x₁）=η（x₂）=0。再取一参变量ε，它可在不太大的正负范围内变化，且令ε与x无关，以上限制主要保证泛函在极值处连续。设y（x）为待求的极值曲线，则有

y（ε，x）=y（x）+εη（x） （2.1.7）

为通过A和B两点的邻近于极值曲线的无限多条曲线。

图2.1.5 引入比较函数

由式（2.1.7），可得泛函J=J[y（x）]的增量为

ΔJ=J[y（x）+εη（x）]-J[y（x）]泛函的变分为

其中，函数的增量为

Δy=εη（x）

而函数的变分为

在研究泛函极值时，通常将η（x）固定，而令ε变化，这样规定的好处在于，建立由参数ε到泛函J[y（ε，x）]值之间的对应关系，这样泛函J[y（ε，x）]就成为参数ε的一般函数，或简写为J（ε），原泛函的极值问题就成为一般函数对ε的求极值的问题。与函数求极值时必须满足dy/dx=0的概念相似，为使泛函J取极值，必有

式（2.1.8）是下面将要导出的欧拉方程的理论基础。

应当指出，泛函极值有强极值与弱极值之分，因为曲线之间有不同的接近度。对零阶接近度而言，称作强极值，对一阶以上接近度而言，称作弱极值。下面我们通过对比来讨论变分运算与微分运算。

性质1 设有函数y（x），n为常量，则

dyⁿ=ny^n-1dy

δyⁿ=ny^n-1δy

性质2 设有函数u（x）和v（x），则

d（uv）=udv+vdu

δ（uv）=uδv+vδu

性质3 设有函数y（x），则

d（xy）=ydx+xdy

δ（xy）=xδy

性质3揭示了微分与变分之间的主要差别。由微分的定义可知，dy是由引起dx的，微分计算时突出了x是一个自变量，所以dx≠0，由变分的定义可知，δJ是由δy引起的，但δJ并不是由δx引起的。δy=y（ε，x）|_ε→0-y（x）是在x为同一值时得到的。如图2.1.5所示，δy是定义在x为固定值的一条竖直线上，所以δx=0，即变分计算时突出了x是一个常量。

性质4 由y（ε，x）=y（x）+εη（x），对x求偏导数，得

或写为y′（ε，x）=y′（x）+εη′（x）

而

δ（y′）=y′（ε，x）ε=0-y′（x）=εη′（x）ε=0（2.1.9）

由，对x求导数，得

比较式（2.1.9）和式（2.1.10），可得

或

δ（y′）=（δy）′（2.1.11）

式（2.1.11）表明，微分和变分的次序可以交换。

此外，还有

以及