前面已经讨论过一维抛物型方程的几种差分格式。对于方程

将其中的时间项用前差形式表示，二阶空间导数项用中心差分近似，得到

令，将上式改写为

uⁿ_i+1=r（uⁿ_i+1+uⁿ_i-1）+（1-2r）uⁿ_i （1.8.1）这是显式格式，可由图1.8.1表示，在点（i，n+1）列出差分方程，只用到（i-1，n），（i，n）和（i+1，n）三个点。前文已证明，显式格式在满足情况下，格式是稳定的。

图1.8.1 显式格式

图1.8.2 隐式格式

若时间改用向后差分，空间仍采用中心差分，则得到差分方程式

将上式改写为

（1-2r）uⁿ_i-r（uⁿ_i+1+uⁿ_i-1）=uⁿ_i^-1 （1.8.2）

这是隐式格式，可由图1.8.2表示，在点（i，n）列差分方程，用到（i-1，n），（i，n-1）和（i+1，n）三个点，前文已证明，这种格式无条件稳定。以下介绍另外几种典型格式。

1.六点格式（CrankNicolson格式）

在点（i，n+1/2）利用关于t的一阶中心差商，由Taylor公式，有

其中，η₁=t_n+1/2+θ₁τ/2，η₂=t_n+1/2+θ₂τ/2，0＜θ₁，θ₂＜1。于是

由此得

于是得到差分格式

或写为

由此可知，在点（i，n+1/2）列方程时，要用到第n+1层上的三个点以及第n层上的三个点，因此这一格式称为六点格式，也称做平均隐式格式，可以用图1.8.3来表示。这一格式也是隐式格式，但比隐式格式（1.8.2）更加逼近于原微分方程。必须指出，建立这一差分格式的一个很重要的思想是将微分方程中的项，用u（x，t）在第n层和第n+1层上关于x的二阶中心差商的算术平均值来逼近，这一思想已被广泛地应用于建立差分格式。与隐式格式（1.8.2）一样，这种格式也是无条件稳定的。

2.Richardson格式

在点（i，n）关于t的中心差商，关于x的二阶中心差商，可得

或写为

uⁿ_i⁺¹=2r（uⁿ_i+1-2uⁿ_i+uⁿ_i-1）+uⁿ_i^-1 （1.8.4）

由此可知，在点（i，n）列差分方程，用到n-1，n和n+1层上的点。(www.daowen.com)

为了求得在n+1层上uⁿ_i⁺¹的值，需要先算出第n-1层和第n层上u的值，这种格式与前面的格式不同，Richardson格式是三层格式，如图1.8.4所示。可以证明，这种格式是恒不稳定的。

图1.8.3 六点格式

图1.8.4 Richardson格式

3.加权六点格式

在建立六点格式时已经知道，这种格式是在点（i，n+1）和（i，n）的中点（i，n+1/2）上建立的，利用了u（x，t）关于t的中心差商，特别是利用了u（x，t）在第n层和第n+1层上关于t的中心差商的算术平均值来逼近。现进一步推广这一方法，将差分格式建立在点（i，n+1）和（i，n）之间任意一点（i，n+θ）上，其中，θ为参数，且0≤θ≤1。由Taylor公式，有

以上两式相减，之后除以τ，得

据此，对作类似处理，有

于是

将上式左端的二阶偏导数以中心差商代替，有

由此得

其中，

当时，截断误差R_l，τ为O（τ+l²）；当时，截断误差R_l，τ为O（τ²+l²）。略去截断误差，得到差分格式差分方程

或写为

-θruⁿ⁺¹_i+1+（1+2θr）uⁿ_i⁺¹-θruⁿ⁺¹_i-1=[1-2（1-θ）r]uⁿ_i+（1-θ）ruⁿ_i+1+（1-θ）ruⁿi-1

加权六点格式也是一种隐式格式，如图1.8.5所示，在点（i，n+1）列方程时，用到第n层和第n+1层上的点。这种格式利用了u（x，t）在第n层和第n+1层关于x的二阶中心差商的加权平均值，故称为加权六点格式。当θ分别取0，1和时，可依次得到显式格式、隐式格式和六点格式，因此，这三种格式均为加权六点格式的特殊情形。

图1.8.5 加权六点格式

当时，无论取何值，加权六点格式都是稳定的；当时，加权六点格式的稳定条件是r满足

而当时，Von Neumann格式成为隐式格式，所以隐式格式无条件稳定。