理论教育 《土建类偏微分方程数值解法二阶波动方程差分格式

《土建类偏微分方程数值解法二阶波动方程差分格式

时间:2023-10-26 理论教育 版权反馈
【摘要】:现在讨论波动方程为了分析简单或写成的差分格式。应用稳定性的Fourier分析方法,不难得到显式格式的稳定性条件是。图1.7.3 显示格式图1.7.4 隐式格式现用待定系数法构造如下的差分算子Lnτ,令Lnτ=c0uni+c1un+1i+1+c2un-1i+1+c3un+1i-1+c4un-1i-1+c5uni+1+c6uni-1式中,c0,c1,…

《土建类偏微分方程数值解法二阶波动方程差分格式

现在讨论波动方程

978-7-111-44528-9-Chapter01-241.jpg

为了分析简单或写成

978-7-111-44528-9-Chapter01-242.jpg

的差分格式。

1.显式格式

空间和时间均采用中心差分格式

978-7-111-44528-9-Chapter01-243.jpg

略去截断误差Oτ2+h2),得差分方程为

uni+1=r2uni+1+uni-1+2(1-r2uni-uni-1-r2l2fni (1.7.6)

式中,978-7-111-44528-9-Chapter01-244.jpgfjn=fxjtn)。这是三层的显式格式,如图1.7.3所示。

应用稳定性的Fourier分析方法,不难得到显式格式的稳定性条件是978-7-111-44528-9-Chapter01-245.jpg

2.隐式格式

利用uxt)在点(i-1,n+1),(in+1),(i+1,n+1),(in),(i-1,n-1),(in-1),(i+1,n-1),7个结点上的值构造差分方程,网格点分布如图1.7.4所示。

978-7-111-44528-9-Chapter01-246.jpg

图1.7.3 显示格式

978-7-111-44528-9-Chapter01-247.jpg

图1.7.4 隐式格式

现用待定系数法构造如下的差分算子L,令

Luni=c0uni+c1un+1i+1+c2un-1i+1+c3un+1i-1+c4un-1i-1+c5uni+1+c6uni-1(1.7.7)式中,c0c1,…,c7为待定常数。

假定函数uxt)有四阶连续偏导数,按多元函数Taylor公式在点(in)展开u直到四阶偏导数项为止,有

978-7-111-44528-9-Chapter01-248.jpg

其中,

978-7-111-44528-9-Chapter01-249.jpg(www.daowen.com)

将上列各式代入式(1.7.7)右端,合并同类项,令u978-7-111-44528-9-Chapter01-250.jpg978-7-111-44528-9-Chapter01-251.jpg978-7-111-44528-9-Chapter01-252.jpg的系数为零,并使978-7-111-44528-9-Chapter01-253.jpg的系数为-c2978-7-111-44528-9-Chapter01-254.jpg的系数为1,这样就可得到c0c1c2c3c4c5c6所满足的代数方程组

978-7-111-44528-9-Chapter01-255.jpg

因为(in+1),(in-1)关于(in)对称,故还可补充一个方程

c5=c6

解以上方程组,得

978-7-111-44528-9-Chapter01-256.jpg

于是,式(1.7.7)可写为

978-7-111-44528-9-Chapter01-257.jpg

得到二阶波动方程(1.7.5)差分格式

978-7-111-44528-9-Chapter01-258.jpg

此即三层隐式差分格式,如第n-1层和第n层的值已经算得,为了求得第n+1层的值,必须解一个三对角的线性代数方程组,此格式的截断误差与格式(1.7.6)相同,为Oτ2+l2)。

3.Von Neumann格式

Von Neumann格式为九结点格式,其网格点分布如图1.7.5所示,其差分格式为

978-7-111-44528-9-Chapter01-259.jpg

其中,0≤θ≤1是给定的参数,利用Taylor公式可直接验证,Von Neumann格式的截断误差为Oτ2+l2)。Von Neumann格式还可以改写为

θr2uj+1n+1 -(1+2θr2ujn+1+θr2un+1j-1=(2θ-1)r2ujn+1-2[(2θ-1)r2+1]ujn+

(2θ-1)r2ujn-1-θr2uj+1n-1+(1+2θr2ujn-1-θr2uj-1n-12fjn (1.7.9)

Von Neumann格式是三层隐式格式,当θ=0时,即为显式格式,若978-7-111-44528-9-Chapter01-260.jpg,则为隐式格式,因此显式格式和隐式格式都是它的特殊情形。

应用稳定性的Fourier分析方法,可得,当978-7-111-44528-9-Chapter01-261.jpg时,无论978-7-111-44528-9-Chapter01-262.jpg取何值,Von Neumann格式都是稳定的。而当978-7-111-44528-9-Chapter01-263.jpg时,Von Neumann格式的稳定条件是r满足

978-7-111-44528-9-Chapter01-264.jpg

由于978-7-111-44528-9-Chapter01-265.jpg时,Von Neumann格式成为隐式格式,所以隐式格式无条件稳定。

978-7-111-44528-9-Chapter01-266.jpg

图1.7.5Von Neumann格式

免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。

我要反馈