现在讨论波动方程
为了分析简单或写成
的差分格式。
1.显式格式
空间和时间均采用中心差分格式
略去截断误差O(τ2+h2),得差分方程为
uni+1=r2(uni+1+uni-1)+2(1-r2)uni-uni-1-r2l2fni (1.7.6)
式中,;fjn=f(xj,tn)。这是三层的显式格式,如图1.7.3所示。
应用稳定性的Fourier分析方法,不难得到显式格式的稳定性条件是。
2.隐式格式
利用u(x,t)在点(i-1,n+1),(i,n+1),(i+1,n+1),(i,n),(i-1,n-1),(i,n-1),(i+1,n-1),7个结点上的值构造差分方程,网格点分布如图1.7.4所示。
图1.7.3 显示格式
图1.7.4 隐式格式
现用待定系数法构造如下的差分算子Lnτ,令
Lnτ(uni)=c0uni+c1un+1i+1+c2un-1i+1+c3un+1i-1+c4un-1i-1+c5uni+1+c6uni-1(1.7.7)式中,c0,c1,…,c7为待定常数。
假定函数u(x,t)有四阶连续偏导数,按多元函数Taylor公式在点(i,n)展开u直到四阶偏导数项为止,有
其中,
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将上列各式代入式(1.7.7)右端,合并同类项,令u,,,的系数为零,并使的系数为-c2,的系数为1,这样就可得到c0,c1,c2,c3,c4,c5,c6所满足的代数方程组
因为(i,n+1),(i,n-1)关于(i,n)对称,故还可补充一个方程
c5=c6
解以上方程组,得
于是,式(1.7.7)可写为
得到二阶波动方程(1.7.5)差分格式
此即三层隐式差分格式,如第n-1层和第n层的值已经算得,为了求得第n+1层的值,必须解一个三对角的线性代数方程组,此格式的截断误差与格式(1.7.6)相同,为O(τ2+l2)。
3.Von Neumann格式
Von Neumann格式为九结点格式,其网格点分布如图1.7.5所示,其差分格式为
其中,0≤θ≤1是给定的参数,利用Taylor公式可直接验证,Von Neumann格式的截断误差为O(τ2+l2)。Von Neumann格式还可以改写为
θr2uj+1n+1 -(1+2θr2)ujn+1+θr2un+1j-1=(2θ-1)r2ujn+1-2[(2θ-1)r2+1]ujn+
(2θ-1)r2ujn-1-θr2uj+1n-1+(1+2θr2)ujn-1-θr2uj-1n-1+τ2fjn (1.7.9)
Von Neumann格式是三层隐式格式,当θ=0时,即为显式格式,若,则为隐式格式,因此显式格式和隐式格式都是它的特殊情形。
应用稳定性的Fourier分析方法,可得,当时,无论取何值,Von Neumann格式都是稳定的。而当时,Von Neumann格式的稳定条件是r满足
由于时,Von Neumann格式成为隐式格式,所以隐式格式无条件稳定。
图1.7.5Von Neumann格式
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