下面以椭圆型方程为例，介绍边界条件的处理方法。我们知道，用差分法求解边值问题的目的是求出Ω=D+Γ中各结点处的近似解，未知量u_i，j的个数即为Ω中的结点数。为了确定这些未知量，需建立相同个数的差分方程。通常有限差分格式是在计算域的内点上建立的，差分方程的个数一般少于未知量的个数。为此，需对边界条件进行近似处理以补充差分方程。

为了便于讨论，假定所研究的计算域Ω是矩形域（0≤x≤a，0≤y≤b），如图1.4.1所示，并分成等步长网格，a=（I+1）l，b=（J+1）h，这时边界结点都落在矩形的边界上，对于第一类边界条件，边界上的值为已知，则计算域内共有内点I×J个，而边界结点为2（I+J+2）个，对于每一个内点可列一个差分方程式，共有I×J个差分方程式，可解出I×J个内点的未知量。

图1.4.1 矩形计算域及其网格划分

图1.4.2 边界网格划分

对于第二类和第三类边界条件，边界上的值未知，这时未知数共有

I×J+2（I+J+2）

=（I+2）（J+2）

由计算域内点列出I×J个方程，另外需要列出边界结点的2（I+J+2）个方程。(www.daowen.com)

若在x方向划分成N等分，在y方向划分成M等分，如图1.4.2所示。对于第一类边界条件，即u|_Γ=φ（x，y），只需取

u_i，j=φ_i，j，（x_i，y_j）∈Γ

对于第二类边界条件，即，需在矩形计算域Ω的四周虚设一排结点，然后在边界点处采用中心差分格式离散化边界条件，有

其中，u_-1，j，u_N+1，j，u_i，-1和u_i，M+1均为虚设的值。

按照此前建立的差分格式建立四周边界网格点上的差分方程，然后与式（1.3.11）联立，消去这些附加的函数值，之后再与内点上建立的差分方程联立，得到所需的线性代数方程组。

对于第三类边界条件，处理方法与第二类边界条件类似，不难列出相应边界条件的格式为