差分方程解的收敛性问题,简单地说,就是当步长h无限缩小时,差分方程的解是否逼近微分方程的解。这个问题是有限差分法中的一个重要问题,若不能保证当h→0时,εj=y(xj)-yj→0,则所得的差分解没有实用价值。为讨论差分方程解的收敛性问题先引入两个概念。
定义一 称由
Rj(y)=Ly(xj)-Lhy(xj) (1.2.22)
所确定的Rj(y)为差分方程的截断误差。
定义二 若存在一个与步长h无关的常数K,使不等式
|Rj(y)|≤Khp
成立,即
Rj(y)=O(hp)
则称Lh具有p阶精度。
下面我们对微分方程式(1.2.17)和差分方程式(1.2.19)进行讨论。
将y′的差分表达式(1.2.8)和y″的差分表达式(1.2.10)代入,得
其中,xj-1<ξ<xj+1,xj-1<η<xj+1。显然,当h→0时,Rj(y)→0。事实上,只要y(x)在[a,b]上具有直到二阶的连续导数,则由微分中值定理容易推得
于是,对于[a,b]上具有二阶连续导数的任何函数,差分算子Lh逼近微分算子L,且由式(1.2.23)可知,在y(x)具有四阶连续导数时,Lh就有二阶精度。考虑到
其中,aj,bj和cj由式(1.2.20)给出。
若令
根据式(1.2.20),考虑到
得
为了推导方便,把条件q(x)≥0改成(www.daowen.com)
q(x)≥k>0,x∈[a,b]
由bj=2+h2qj,得
于是
即
由Rj(y)→0,得ε→0。由此可以得出,对于方程式(1.2.17),若该方程的解y(x)在[a,b]上具有二阶连续导数,且p(x),q(x)和r(x)都是在[a,b]上的连续函数,q(x)≥k>0,则由差分方程(1.2.19)所确定的差分解必收敛于微分方程的解,即
进一步,若方程式(1.2.17)的解y(x)在[a,b]上具有四阶连续导数,则对于式(1.2.19),有
y(xj)-yj=O(h2)
此即对差分解的误差估计。
事实上,若令
及
则由式(1.2.23),可得
由式(1.2.24)得
即
y(xj)-yj=O(h2)
上面考虑的边值问题为第一类边界条件,对于第二类和第三类的边界条件,因其中包含导数,必须用适当的有限差分格式来表示导数。例如,若要求误差项是O(h),则有
若要求误差项是O(h2),则有
不难看出,在以上两种情况中,对于前一种情况,差分方程的系数矩阵是三对角的,而后一种情况,作简单的变形,也可将差分方程的系数矩阵化为三对角矩阵。
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