理论教育 线性常微分方程边值问题的有限差分法求解:土建类书籍

线性常微分方程边值问题的有限差分法求解:土建类书籍

时间:2023-10-26 理论教育 版权反馈
【摘要】:以下我们来建立差分方程。,xN-1称为内结点,x0和xN称为边界结点。式称为逼近常微分方程边值问题式的差分方程,式的解称为差分解,该差分解是边值问题式的解函数y在结点xj(j=0,1,2,…以上通过有限差分处理,将常微分方程边值问题转化为差分方程。事实上,对于差分方程,我们还必须知道差分方程的存在性、唯一性和收敛性。

线性常微分方程边值问题的有限差分法求解:土建类书籍

考虑二阶线性常微分方程和边界条件

其中,px),qx)和rx)都是在[ab]上已知的连续函数,且qx)>0,αβ为已知常数。以下我们来建立差分方程。将区间[ab]分成N等分,结点为

xj=a+jhj=0,1,2,…,N)其中,h=(b-a)/N为步长,点x1x2,…,xN-1称为内结点,x0xN称为边界结点。

在每一内结点xj处,利用导数y″y′的有限差分公式,代入方程式(1.2.17),得

如果引入差分算子Lh,使

其中,x为[ab]的内结点,则式(1.2.18)可表示为

Lh[yxj)]+Oh2=rxj)(www.daowen.com)

显然,若h足够小,则可忽略Oh2),而得差分方程

其中,pj=pxj),qj=qxj),rj=rxj)。

于是,常微分方程边值问题,即式(1.2.17)可近似地表达为

其中,978-7-111-44528-9-Chapter01-36.jpg978-7-111-44528-9-Chapter01-37.jpg978-7-111-44528-9-Chapter01-38.jpg

式(1.2.20)称为逼近常微分方程边值问题式(1.2.17)的差分方程,式(1.2.20)的解称为差分解,该差分解是边值问题式(1.2.17)的解函数yx)在结点xjj=0,1,2,…,N)处的近似值,即yj=yxj)。

以上通过有限差分处理,将常微分方程边值问题转化为差分方程。事实上,对于差分方程,我们还必须知道差分方程的存在性、唯一性和收敛性。

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