【摘要】:以下我们来建立差分方程。,xN-1称为内结点,x0和xN称为边界结点。式称为逼近常微分方程边值问题式的差分方程,式的解称为差分解,该差分解是边值问题式的解函数y在结点xj(j=0,1,2,…以上通过有限差分处理,将常微分方程边值问题转化为差分方程。事实上,对于差分方程,我们还必须知道差分方程的存在性、唯一性和收敛性。
其中,p(x),q(x)和r(x)都是在[a,b]上已知的连续函数,且q(x)>0,α和β为已知常数。以下我们来建立差分方程。将区间[a,b]分成N等分,结点为
xj=a+jh(j=0,1,2,…,N)其中,h=(b-a)/N为步长,点x1,x2,…,xN-1称为内结点,x0和xN称为边界结点。
在每一内结点xj处,利用导数y″和y′的有限差分公式,代入方程式(1.2.17),得
如果引入差分算子Lh,使
其中,x为[a,b]的内结点,则式(1.2.18)可表示为
Lh[y(xj)]+O(h2)=r(xj)(www.daowen.com)
显然,若h足够小,则可忽略O(h2),而得差分方程
其中,pj=p(xj),qj=q(xj),rj=r(xj)。
于是,常微分方程边值问题,即式(1.2.17)可近似地表达为
其中,,,。
式(1.2.20)称为逼近常微分方程边值问题式(1.2.17)的差分方程,式(1.2.20)的解称为差分解,该差分解是边值问题式(1.2.17)的解函数y(x)在结点xj(j=0,1,2,…,N)处的近似值,即yj=y(xj)。
以上通过有限差分处理,将常微分方程边值问题转化为差分方程。事实上,对于差分方程,我们还必须知道差分方程的存在性、唯一性和收敛性。
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