对于含有两个自变量x和y的二阶线性偏微分方程可表示为

式中，A，B，C，D，E和F均为自变量x，y的函数。

为了讨论方便，引入线性偏微分算子

则方程式（1.1.6）可简记为

L（u）=f（x，y） （1.1.8）

我们通常遇到的数学物理方程大多数为形如方程式（1.1.6）的二阶偏微分方程，对于该方程，按系数A、B和C之间的关系，分成三种类型，分别代表不同的物理过程或状态。

若B²-4AC＞0，方程式（1.1.6）为双曲型方程；

若B²-4AC=0，方程式（1.1.6）为抛物型方程；

若B²-4AC＜0，方程式（1.1.6）为椭圆型方程。

二阶偏微分方程，例如，波动方程、输运方程和拉普拉斯方程（泊松方程），在偏微分方程的理论和应用中占有重要地位。

波动方程

是描述振动（或波动）过程的偏微分方程，属双曲型方程。

输运方程(www.daowen.com)

是描述扩散和热传导等不可逆过程的偏微分方程，属抛物型方程。

拉普拉斯方程

是描述稳定（或平衡）状态过程的偏微分方程，属椭圆型方程。

以下简要介绍起源于流体力学的Burgers方程。在非线性偏微分方程的研究过程中，Burgers方程是一类具有代表性的耗散型波动方程，并且用来描述许多物理现象，例如，黏性介质中的声波问题以及充满黏弹性流体管道中的波动问题等。从一维非恒定对流扩散方程的守恒形式出发，有

式中，ϕ为待求的因变量；u为流速；β为扩散系数，且β＞0。根据一维流体运动的连续条件，可以将式（1.1.12）改写为

将式（1.1.13）中的因变量ϕ改为流速u，便得一维Burgers方程，即

式（1.1.14）等号左边分别称为时变项、对流项，等式右边称为黏性耗散项（或扩散项）。式（1.1.14）与一维纳维斯托克斯方程（NS方程）仅相差一个压力梯度项。一维Burgers方程经过不同的简化处理，又可得到几种更为简单的模型方程。若略去黏性耗散项，则得到一维非线性对流方程

式（1.1.15）是一维NS方程的惯性力部分，适用于无黏性流动。若将式（1.1.14）的对流项作线性化处理，则得

式中，α，β为常数。式（1.1.16）称为一维线性对流扩散方程，该方程适合于污染物质在流体中的运动，包括对流与扩散两个物理过程。

若再进一步简化，忽略扩散项（二阶导数项），即令式（1.1.16）中β=0，则得一维纯对流方程，即

式（1.1.17）为线性方程。

若流动速度较小，则对流项可忽略，式（1.1.16）中的α=0，得一维扩散方程。