理论教育 微积分典型例题解析-微积分典型例题与解法

微积分典型例题解析-微积分典型例题与解法

时间:2023-10-23 理论教育 版权反馈
【摘要】:1.若级数处收敛,则在×处,必有().A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不能确定解 令t=×-1,级数在t=-2时收敛,故在|t|<2时绝对收敛,即原级数在-1<×<3时绝对收敛,所以答案为A.2.设级数在×=2处发散,在×=-1处收敛,求级数-1)N的收敛半径和收敛域.解 令,×=2时级数在发散,在t=级数收敛,所以级数的收敛半径为,|t|<,,所以收敛域为×∈.3.求下列幂级数的

微积分典型例题解析-微积分典型例题与解法

1.若级数978-7-111-41532-9-Chapter08-500.jpg处收敛,则在×978-7-111-41532-9-Chapter08-501.jpg处,必有().

A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不能确定

×-1,级数978-7-111-41532-9-Chapter08-502.jpg=-2时收敛,故在||<2时绝对收敛,即原级数在-1<×<3时绝对收敛,所以答案为A

2.设级数978-7-111-41532-9-Chapter08-503.jpg×=2处发散,在×=-1处收敛,求级数978-7-111-41532-9-Chapter08-504.jpg-1)N的收敛半径和收敛域

978-7-111-41532-9-Chapter08-505.jpg×=2时级数978-7-111-41532-9-Chapter08-506.jpg978-7-111-41532-9-Chapter08-507.jpg发散,在978-7-111-41532-9-Chapter08-508.jpg级数收敛,所以级数的收敛半径为978-7-111-41532-9-Chapter08-509.jpg,||<978-7-111-41532-9-Chapter08-510.jpg978-7-111-41532-9-Chapter08-511.jpg,所以收敛域为×978-7-111-41532-9-Chapter08-512.jpg

3.求下列幂级数的收敛区间.

(1)978-7-111-41532-9-Chapter08-513.jpg (2)978-7-111-41532-9-Chapter08-514.jpg (3)978-7-111-41532-9-Chapter08-515.jpg

(4)978-7-111-41532-9-Chapter08-516.jpg (5)978-7-111-41532-9-Chapter08-517.jpg (6)978-7-111-41532-9-Chapter08-518.jpg

(7)978-7-111-41532-9-Chapter08-519.jpg

(1)由于978-7-111-41532-9-Chapter08-520.jpg,所以=1,收敛区间为(-1,1)

(2)由于978-7-111-41532-9-Chapter08-521.jpg,所以=+∞,收敛区间为(-∞,+∞)

(3)由于978-7-111-41532-9-Chapter08-522.jpg,所以=0,级数只在×=0收敛

(4)由于978-7-111-41532-9-Chapter08-523.jpg,所以=3,收敛区间为(-3,3)

(5)由于978-7-111-41532-9-Chapter08-524.jpg,所以978-7-111-41532-9-Chapter08-525.jpg,收敛区间978-7-111-41532-9-Chapter08-526.jpg

(6)由于978-7-111-41532-9-Chapter08-527.jpg,所以收敛区间为(-2,2)

(7)由于978-7-111-41532-9-Chapter08-528.jpg,所以=1,收敛区间为(4,6)

4.求下列幂级数的收敛域.

(1)978-7-111-41532-9-Chapter08-529.jpg (2)978-7-111-41532-9-Chapter08-530.jpg (3)978-7-111-41532-9-Chapter08-531.jpg

(4)978-7-111-41532-9-Chapter08-532.jpg

(1)978-7-111-41532-9-Chapter08-533.jpg,所以=1,×=1时,978-7-111-41532-9-Chapter08-534.jpg发散;×=-1时,978-7-111-41532-9-Chapter08-535.jpg收敛,故收敛域为[-1,1).

(2)978-7-111-41532-9-Chapter08-536.jpg,所以R=3,×=3时,978-7-111-41532-9-Chapter08-537.jpg收敛,×=-3时,级数978-7-111-41532-9-Chapter08-538.jpg发散,故收敛域为(-3,3].

(3)令2×-3=978-7-111-41532-9-Chapter08-539.jpgt=1时,级数978-7-111-41532-9-Chapter08-540.jpg收敛,t=-1时,级数978-7-111-41532-9-Chapter08-541.jpg发散,所以级数978-7-111-41532-9-Chapter08-542.jpg收敛,级数978-7-111-41532-9-Chapter08-543.jpg的收敛域为(1,2].

(4)令978-7-111-41532-9-Chapter08-544.jpg978-7-111-41532-9-Chapter08-545.jpg978-7-111-41532-9-Chapter08-546.jpg978-7-111-41532-9-Chapter08-547.jpg时,级数978-7-111-41532-9-Chapter08-548.jpg收敛,978-7-111-41532-9-Chapter08-549.jpg,级数978-7-111-41532-9-Chapter08-550.jpg发散,级数978-7-111-41532-9-Chapter08-551.jpg978-7-111-41532-9-Chapter08-552.jpg收敛,故级数的收敛域为(0,1].

5.求幂级数978-7-111-41532-9-Chapter08-553.jpg的和函数,并求978-7-111-41532-9-Chapter08-554.jpg的和.

978-7-111-41532-9-Chapter08-555.jpg978-7-111-41532-9-Chapter08-556.jpg|×|<1.所以978-7-111-41532-9-Chapter08-557.jpg,|×|<1.当978-7-111-41532-9-Chapter08-558.jpg时,978-7-111-41532-9-Chapter08-559.jpg,所以978-7-111-41532-9-Chapter08-560.jpg

6.求幂级数978-7-111-41532-9-Chapter08-561.jpg的收敛域,和函数,并求978-7-111-41532-9-Chapter08-562.jpg的和.

978-7-111-41532-9-Chapter08-563.jpg,该幂级数的收敛域为(-∞,+∞),

978-7-111-41532-9-Chapter08-564.jpg,又因为978-7-111-41532-9-Chapter08-565.jpg,所以978-7-111-41532-9-Chapter08-566.jpg×=0,S(0)0.×=4时,978-7-111-41532-9-Chapter08-567.jpg

7.求下列幂级数的和函数.

(1)978-7-111-41532-9-Chapter08-568.jpg (2)978-7-111-41532-9-Chapter08-569.jpg (3)978-7-111-41532-9-Chapter08-570.jpg

(1)令978-7-111-41532-9-Chapter08-571.jpg978-7-111-41532-9-Chapter08-572.jpg|×|<1故有978-7-111-41532-9-Chapter08-573.jpg×∈(-1,1).

(2)令978-7-111-41532-9-Chapter08-574.jpg,则

978-7-111-41532-9-Chapter08-576.jpg,则有

所以978-7-111-41532-9-Chapter08-578.jpg978-7-111-41532-9-Chapter08-579.jpg

因此978-7-111-41532-9-Chapter08-580.jpg×∈(-1,1).(3)令978-7-111-41532-9-Chapter08-581.jpg,则978-7-111-41532-9-Chapter08-582.jpg.(www.daowen.com)

978-7-111-41532-9-Chapter08-583.jpg×∈(-1,1],则978-7-111-41532-9-Chapter08-584.jpg×∈[-1,1),所以有978-7-111-41532-9-Chapter08-585.jpg×∈[-2,2)故978-7-111-41532-9-Chapter08-586.jpg×∈[-2,0)∪(0,2)

8.利用已知的展开式把下列函数展开成关于×的幂级数,并求收敛区域.

(1)f×)=CoS2× (2)f×)=×3e-×

(3)978-7-111-41532-9-Chapter08-587.jpg (4)f×)=lN(1+×-2×2

(5)978-7-111-41532-9-Chapter08-588.jpg (6)978-7-111-41532-9-Chapter08-589.jpg

(1)978-7-111-41532-9-Chapter08-590.jpg

(2)因为978-7-111-41532-9-Chapter08-592.jpg,所以有978-7-111-41532-9-Chapter08-593.jpg×∈(-∞,+∞)

(3)978-7-111-41532-9-Chapter08-594.jpg

(4)因为978-7-111-41532-9-Chapter08-596.jpg×∈(-1,1],而

(5)解法一 因为978-7-111-41532-9-Chapter08-598.jpg×∈(-1,1]

解法二978-7-111-41532-9-Chapter08-601.jpg

(6)因为978-7-111-41532-9-Chapter08-603.jpg

所以978-7-111-41532-9-Chapter08-605.jpg

9.将函数978-7-111-41532-9-Chapter08-606.jpg展开成×-1的幂级数.

978-7-111-41532-9-Chapter08-607.jpg

10.将函数978-7-111-41532-9-Chapter08-609.jpg展开成×-1的幂级数,并求fN(1).

978-7-111-41532-9-Chapter08-610.jpg

有级数展开中系数与高阶导数的关系知978-7-111-41532-9-Chapter08-612.jpg

11.将函数978-7-111-41532-9-Chapter08-613.jpg展开为×的幂级数,给出收敛域,并求级数978-7-111-41532-9-Chapter08-614.jpg的和.

因为978-7-111-41532-9-Chapter08-615.jpg

所以978-7-111-41532-9-Chapter08-617.jpg×∈(-∞,+∞).

12.将函数978-7-111-41532-9-Chapter08-619.jpg展开为×的幂级数,给出收敛域,并求级数978-7-111-41532-9-Chapter08-620.jpg的和.

因为978-7-111-41532-9-Chapter08-621.jpg×≠0,故有978-7-111-41532-9-Chapter08-622.jpg×∈(-∞,0)∪(0,+∞)

13.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值.

(1)lN 2,误差不超过0.0001.

(2)978-7-111-41532-9-Chapter08-624.jpg,取幂级数展开式的前三项计算.

(1)因为978-7-111-41532-9-Chapter08-625.jpg×∈(-1,1),令978-7-111-41532-9-Chapter08-626.jpg,解得978-7-111-41532-9-Chapter08-627.jpg,故有

故取N=4,则

(2)因为978-7-111-41532-9-Chapter08-631.jpg×∈(-∞,+∞),所以有978-7-111-41532-9-Chapter08-632.jpg×∈(-∞,+∞)

978-7-111-41532-9-Chapter08-633.jpg×∈(-∞,+∞).

因此978-7-111-41532-9-Chapter08-634.jpg

所以978-7-111-41532-9-Chapter08-635.jpg

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