1.若级数处收敛,则在×处,必有().
A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不能确定
解 令t=×-1,级数在t=-2时收敛,故在|t|<2时绝对收敛,即原级数在-1<×<3时绝对收敛,所以答案为A.
2.设级数在×=2处发散,在×=-1处收敛,求级数-1)N的收敛半径和收敛域.
解 令,×=2时级数在发散,在t=级数收敛,所以级数的收敛半径为,|t|<,,所以收敛域为×∈.
3.求下列幂级数的收敛区间.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7)
解 (1)由于,所以R=1,收敛区间为(-1,1).
(2)由于,所以R=+∞,收敛区间为(-∞,+∞).
(3)由于,所以R=0,级数只在×=0收敛.
(4)由于,所以R=3,收敛区间为(-3,3).
(5)由于,所以,收敛区间.
(6)由于,所以收敛区间为(-2,2).
(7)由于,所以R=1,收敛区间为(4,6).
4.求下列幂级数的收敛域.
(1) (2) (3)
(4)
解 (1),所以R=1,×=1时,发散;×=-1时,收敛,故收敛域为[-1,1).
(2),所以R=3,×=3时,收敛,×=-3时,级数发散,故收敛域为(-3,3].
(3)令2×-3=t,,t=1时,级数收敛,t=-1时,级数发散,所以级数收敛,级数的收敛域为(1,2].
(4)令,,,时,级数收敛,,级数发散,级数在收敛,故级数的收敛域为(0,1].
5.求幂级数的和函数,并求的和.
解 令,,|×|<1.所以,|×|<1.当时,,所以.
6.求幂级数的收敛域,和函数,并求的和.
解,该幂级数的收敛域为(-∞,+∞),
而,又因为,所以,×=0,S(0)=0.×=4时,.
7.求下列幂级数的和函数.
(1) (2) (3)
解 (1)令,,|×|<1故有,×∈(-1,1).
(2)令,则
令,则有
所以,,
因此,×∈(-1,1).(3)令,则.(www.daowen.com)
而,×∈(-1,1],则,×∈[-1,1),所以有,×∈[-2,2)故,×∈[-2,0)∪(0,2)
8.利用已知的展开式把下列函数展开成关于×的幂级数,并求收敛区域.
(1)f(×)=CoS2× (2)f(×)=×3e-×
(3) (4)f(×)=lN(1+×-2×2)
(5) (6)
解 (1)
(2)因为,所以有,×∈(-∞,+∞)
(3)
(4)因为,×∈(-1,1],而
(5)解法一 因为,×∈(-1,1]
故
解法二
(6)因为
所以.
9.将函数展开成×-1的幂级数.
解
10.将函数展开成×-1的幂级数,并求f(N)(1).
解
有级数展开中系数与高阶导数的关系知.
11.将函数展开为×的幂级数,给出收敛域,并求级数的和.
解 因为
所以,×∈(-∞,+∞).
12.将函数展开为×的幂级数,给出收敛域,并求级数的和.
解 因为,×≠0,故有,×∈(-∞,0)∪(0,+∞)
13.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值.
(1)lN 2,误差不超过0.0001.
(2),取幂级数展开式的前三项计算.
解 (1)因为,×∈(-1,1),令,解得,故有
故取N=4,则
(2)因为,×∈(-∞,+∞),所以有,×∈(-∞,+∞)
故,×∈(-∞,+∞).
因此.
所以.
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