1．用比较判别法判断下列级数的敛散性．

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

解 （1）因为，而发散，由比较判别法知原级数发散．

（2）由于，而发散，由比较判别法知原级数发散．

（3）由于，而收敛，由比较判别法知原级数收敛．

（4）由于，而收敛，由比较判别法知原级数收敛．

（5）由于，而在A＞1收敛，0＜A≤1发散，所以原级数在A＞1收敛，0＜A≤1发散．

（6）由于，而收敛，由比较判别法知原级数收敛．

（7）由于，而在P＞1时收敛，在P≤1时发散，由比较判别法知原级数在P＞1时收敛，在P≤1时发散．

（8）由于，由比较判别法原级数收敛．

2．用比值判别法判断下列级数的敛散性．

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

解 （1）由于，所以级数发散．

（2）由于，所以级数收敛．

（3）由于，所以级数收敛．

（4）由于，所以级数收敛．(www.daowen.com)

（5）由于，所以级数收敛．

（6）由于，所以级数收敛．

（7）由于，所以级数收敛．

（8）由于，所以级数收敛．

3．用根值判别法判断下列级数的敛散性．

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6），其中A_N→A（N→∞），A_N，B，A均为正数

解 （1）由于，所以级数收敛．

（2）由于，所以级数发散．

（3）由于，所以级数收敛．

（4）由于，所以级数收敛．

（5）由于，所以级数收敛．

（6）由于，所以当B＞A时级数发散，当B＜A时级数收敛，A＝B时，级数敛散性不定，不能用根值法判别．

4．设A_N≤C_N≤B_N，（N＝1，2，…），且及都收敛，证明级数收敛．

证 因为A_N≤C_N≤B_N，所以B_N-A_N≥B_N-C_N＞0，而及都收敛，所以级数收敛，由比较判别法知收敛，所以级数收敛．

5．若及都收敛，证明下列级数都收敛．

（1） （2） （3）

证（1）因为A²_N+B²_N≥2｜AB｜，及都收敛，收敛，由比较判别法知收敛．

（2）因为收敛，所以收敛，又由及都收敛，故收敛．

（3）因为收敛，当时，即也收敛．