理论教育 微积分习题解析与应用

微积分习题解析与应用

时间:2023-10-23 理论教育 版权反馈
【摘要】:1.比较下列积分值的大小.(1),其中D是由×轴、y轴与直线y=1-×所围D(×+y)2Dσ与D成的闭区域;(2)与,其中D是由圆周(×-2)2+(y-1)2=2所围成的闭区域;(3)与,其中D={(×,y)3≤×≤5,0≤y≤1}.解 (1)在积分区域D上,0≤×+y≤1,故有(×+y)3≤(×+y)2,根据二重积分的性质4,可得σ.(2)由于积分区域D位于半平面{(×,y)|×+y≥1}内,故

微积分习题解析与应用

1.比较下列积分值的大小.

(1)978-7-111-41532-9-Chapter07-404.jpg,其中D是由×轴、轴与直线y=1所围

D×+y)2Dσ与∬D成的闭区域;

(2)978-7-111-41532-9-Chapter07-405.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-406.jpg,其中D是由圆周(×-2)2+y-1)22所围成的闭区域;

(3)978-7-111-41532-9-Chapter07-407.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-408.jpg,其中D={(×)3≤×≤5,0≤≤1}.

(1)在积分区域D上,0≤×+y≤1,故有(×+y)3≤(×+y)2,根据二重积分的性质4,可得978-7-111-41532-9-Chapter07-409.jpgσ

(2)由于积分区域D位于半平面{(×|×+y≥1}内,故在D上有(×+y)2≤(×+y)3.从而∬978-7-111-41532-9-Chapter07-410.jpgσ

(3)由于积分区域D位于半平面{(×|×+ye}内,故在D上有lN(×+y)≥1,从而有[lN(×+y)]2≥lN(×+y).因此978-7-111-41532-9-Chapter07-411.jpg

2.估计下列积分的值.

(1)978-7-111-41532-9-Chapter07-412.jpg,其中D={(×)0≤×≤1,0≤≤1};

(2)978-7-111-41532-9-Chapter07-413.jpg,其中D={(××2+y2≤4}.

(1)在积分区域D上,0≤×≤1,0≤≤1,从而0≤×y×+y)≤2,又D的面积等于1,因此978-7-111-41532-9-Chapter07-414.jpg

(2)在积分区域D上,0≤×2+y2≤4,从而9≤×2+42+9≤4(×2+y2+9≤25,又D的面积等于4π,因此978-7-111-41532-9-Chapter07-415.jpgπ.

3.利用积分中值定理证明:978-7-111-41532-9-Chapter07-416.jpg,其中D={(×|×2+y22}.

由积分中值定理,至少存在一点(ξη),使得

所以

4.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-419.jpg,其中D是由抛物线2=×与直线y=×-2所围的闭区域.

D可用不等式表示为2×y+2,-1≤≤2,于是有

5.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-421.jpg,其中D是由直线y=××=-1,y=1所围的闭区域.

D可用不等式表示为-1≤×≤1,×≤1,于是有

注:此题还可以划分区域D,然后利用奇偶对称性来求解.

6.应用二重积分,求在×y平面上由y=×2y=4×-×2所围成区域的面积.

所围区域D可用不等式表示为0≤×≤2,×2≤4×-×2,于是面积

7.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-424.jpg,其中D是由直线y=2×978-7-111-41532-9-Chapter07-425.jpgy=12所围成的闭区域.

D=D1D2,其中978-7-111-41532-9-Chapter07-426.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-427.jpg.于是

8.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-429.jpg,其中D是由直线y=×y=1及轴所围成的闭区域.

区域D可用不等式表示为0≤×,0≤≤1,于是

9.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-431.jpgσ,其中D是由直线y=0,y=1及×=-1,×=1轴所围成的闭区域.

D=D1D2D3,其中D1{(×0≤×2-1≤×≤0},D2{(×0≤×2,0≤×≤1},D3{(×0≤≤1,978-7-111-41532-9-Chapter07-432.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-433.jpg,于是

10.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-435.jpg,其中D|×|+|y|≤1.

D=D1D2,其中D1{(×|-×-1≤×+1,-1≤×≤0},

D2{(×|×-1≤-×+1,0≤×≤1},于是

11.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-437.jpg,其中D是由抛物线y=×2与直线y=1所围的闭区域,fD上连续.

因为区域D关于轴对称,而×f×2+y2)是×的奇函数,所以有

区域D可用不等式表示为978-7-111-41532-9-Chapter07-439.jpg,0≤≤1,于是(www.daowen.com)

12.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-441.jpgσ

因为积分区域D={(×|×2+y2≤4}关于×轴对称,而被积函数×y+y3CoS×是关于的奇函数,所以有

13.改变下列二次积分的积分次序.

(3)978-7-111-41532-9-Chapter07-445.jpg (4)978-7-111-41532-9-Chapter07-446.jpg

(5)978-7-111-41532-9-Chapter07-447.jpg

(1)所给二次积分等于二重积分∬978-7-111-41532-9-Chapter07-448.jpg,其中D={(×0≤×,0≤≤1},D可改写为{(×|×≤1,0≤×≤1},于是原式=978-7-111-41532-9-Chapter07-449.jpg

(2)所给二次积分等于二重积分978-7-111-41532-9-Chapter07-450.jpg,其中D={(×|y2×≤2,0≤≤2},D可改写为

{(×978-7-111-41532-9-Chapter07-451.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-452.jpg,0≤×≤4},于是

(3)所给二次积分等于二重积分978-7-111-41532-9-Chapter07-454.jpg,其中D={(×|-978-7-111-41532-9-Chapter07-455.jpg-y2×978-7-111-41532-9-Chapter07-456.jpg,0≤≤1},D可改写为{(×0≤978-7-111-41532-9-Chapter07-457.jpg2-1≤×≤1},于是

(4)所给二次积分等于二重积分978-7-111-41532-9-Chapter07-459.jpg,其中D={(×2978-7-111-41532-9-Chapter07-460.jpg,1≤×≤2},D可改写为{(×2-y×≤1+978-7-111-41532-9-Chapter07-461.jpg-y2,0≤≤1},于是

(5)所给二次积分等于二重积分978-7-111-41532-9-Chapter07-463.jpg,其中D={(×0≤≤lN×,1≤×≤e},D可改写为{(×e×≤e,0≤≤1},于是

14.用二重积分表示由曲面z=0,×+y+z=1,×2+y21所围立体的体积

所围立体视为以平面×+y+z=1为顶,以×oy面上的圆×2+y21(z=0)为底的曲顶柱体.

根据二重积分的几何意义,所求体积为

15.求由曲面z=0,z=×2+y2y=×2y=1所围立体的体积.

该立体可以看做以D={(×|y=×2y=1}为底,以z=×2+y2为顶面的曲顶柱体,其体积为

16.求由曲面z=×2+22z=6-2×2-y2所围立体的体积.

所求立体在×oy面上的投影区域为

D={(×|×2+y2≤2}

所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差

17.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-468.jpg,其中D是由×2+y2≤1所确定的闭区域.

极坐标中,D={(θ0≤≤1,0≤θ≤2π},故

18.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-470.jpg,其中D是由×2+y22所围的闭区域.

在极坐标中,D={(θ0≤≤2SINθ978-7-111-41532-9-Chapter07-471.jpg},故

19.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-474.jpg,其中D是由×2+y24和(×+1)2+y21所围的闭区域.

D1{(×|×2+y2≤4},D2{(××+1)2+y2≤1},则有

在极坐标中,D1{(θ0≤≤2,0≤θ≤2π}

故有

20.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-479.jpg,其中D是由圆周×2+y24,×2+y21及直线y=0,y=×所围成的在第一象限内的闭区域.

在极坐标中,D={(θ1≤≤2,978-7-111-41532-9-Chapter07-480.jpg},故

21.计算978-7-111-41532-9-Chapter07-482.jpg,其中D={(×π2×2+y2≤4π2}.

在极坐标中,D={(θπ≤≤2π,0≤θ≤2π},故

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