1.比较下列积分值的大小.
(1),其中D是由×轴、y轴与直线y=1-×所围
D(×+y)2Dσ与∬D成的闭区域;
(2)与,其中D是由圆周(×-2)2+(y-1)2=2所围成的闭区域;
(3)与,其中D={(×,y)3≤×≤5,0≤y≤1}.
解 (1)在积分区域D上,0≤×+y≤1,故有(×+y)3≤(×+y)2,根据二重积分的性质4,可得σ.
(2)由于积分区域D位于半平面{(×,y)|×+y≥1}内,故在D上有(×+y)2≤(×+y)3.从而∬σ.
(3)由于积分区域D位于半平面{(×,y)|×+y≥e}内,故在D上有lN(×+y)≥1,从而有[lN(×+y)]2≥lN(×+y).因此.
2.估计下列积分的值.
(1),其中D={(×,y)0≤×≤1,0≤y≤1};
(2),其中D={(×,y)×2+y2≤4}.
解 (1)在积分区域D上,0≤×≤1,0≤y≤1,从而0≤×y(×+y)≤2,又D的面积等于1,因此.
(2)在积分区域D上,0≤×2+y2≤4,从而9≤×2+4y2+9≤4(×2+y2)+9≤25,又D的面积等于4π,因此π.
3.利用积分中值定理证明:,其中D={(×,y)|×2+y2≤r2}.
证 由积分中值定理,至少存在一点(ξ,η),使得
所以
4.计算,其中D是由抛物线y2=×与直线y=×-2所围的闭区域.
解D可用不等式表示为y2≤×≤y+2,-1≤y≤2,于是有
5.计算,其中D是由直线y=×,×=-1,y=1所围的闭区域.
解D可用不等式表示为-1≤×≤1,×≤y≤1,于是有
注:此题还可以划分区域D,然后利用奇偶对称性来求解.
6.应用二重积分,求在×y平面上由y=×2与y=4×-×2所围成区域的面积.
解 所围区域D可用不等式表示为0≤×≤2,×2≤y≤4×-×2,于是面积
7.计算,其中D是由直线y=2×,及y=12-×所围成的闭区域.
解D=D1∪D2,其中,.于是
8.计算,其中D是由直线y=×,y=1及y轴所围成的闭区域.
解 区域D可用不等式表示为0≤×≤y,0≤y≤1,于是
9.计算σ,其中D是由直线y=0,y=1及×=-1,×=1轴所围成的闭区域.
解D=D1∪D2∪D3,其中D1={(×,y)|0≤y≤×2,-1≤×≤0},D2={(×,y)|0≤y≤×2,0≤×≤1},D3={(×,y)|0≤y≤1,,于是
10.计算,其中D为|×|+|y|≤1.
解D=D1∪D2,其中D1={(×,y)|-×-1≤y≤×+1,-1≤×≤0},
D2={(×,y)|×-1≤y≤-×+1,0≤×≤1},于是
11.计算,其中D是由抛物线y=×2与直线y=1所围的闭区域,f在D上连续.
解 因为区域D关于y轴对称,而×f(×2+y2)是×的奇函数,所以有
区域D可用不等式表示为,0≤y≤1,于是(www.daowen.com)
12.计算σ.
解 因为积分区域D={(×,y)|×2+y2≤4}关于×轴对称,而被积函数×y+y3CoS×是关于y的奇函数,所以有
13.改变下列二次积分的积分次序.
(3) (4)
(5)
解 (1)所给二次积分等于二重积分∬,其中D={(×,y)|0≤×≤y,0≤y≤1},D可改写为{(×,y)|×≤y≤1,0≤×≤1},于是原式=
(2)所给二次积分等于二重积分,其中D={(×,y)|y2≤×≤2y,0≤y≤2},D可改写为
{(×,y),0≤×≤4},于是
(3)所给二次积分等于二重积分,其中D={(×,y)|--y2≤×,0≤y≤1},D可改写为{(×,y)|0≤y≤-×2,-1≤×≤1},于是
(4)所给二次积分等于二重积分,其中D={(×,y)|2-×≤y≤,1≤×≤2},D可改写为{(×,y)|2-y≤×≤1+-y2,0≤y≤1},于是
(5)所给二次积分等于二重积分,其中D={(×,y)|0≤y≤lN×,1≤×≤e},D可改写为{(×,y)|ey≤×≤e,0≤y≤1},于是
14.用二重积分表示由曲面z=0,×+y+z=1,×2+y2=1所围立体的体积
解 所围立体视为以平面×+y+z=1为顶,以×oy面上的圆×2+y2=1(z=0)为底的曲顶柱体.
根据二重积分的几何意义,所求体积为
15.求由曲面z=0,z=×2+y2,y=×2,y=1所围立体的体积.
解 该立体可以看做以D={(×,y)|y=×2,y=1}为底,以z=×2+y2为顶面的曲顶柱体,其体积为
16.求由曲面z=×2+2y2及z=6-2×2-y2所围立体的体积.
解 所求立体在×oy面上的投影区域为
D={(×,y)|×2+y2≤2}
所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差
17.计算,其中D是由×2+y2≤1所确定的闭区域.
解 在极坐标中,D={(r,θ)|0≤r≤1,0≤θ≤2π},故
18.计算,其中D是由×2+y2=2y所围的闭区域.
解 在极坐标中,D={(r,θ)|0≤r≤2SINθ,},故
19.计算,其中D是由×2+y2=4和(×+1)2+y2=1所围的闭区域.
解 令D1={(×,y)|×2+y2≤4},D2={(×,y)|(×+1)2+y2≤1},则有
在极坐标中,D1={(r,θ)|0≤r≤2,0≤θ≤2π}
故
故有
20.计算,其中D是由圆周×2+y2=4,×2+y2=1及直线y=0,y=×所围成的在第一象限内的闭区域.
解 在极坐标中,D={(r,θ)|1≤r≤2,},故
21.计算,其中D={(×,y)|π2≤×2+y2≤4π2}.
解 在极坐标中,D={(r,θ)|π≤r≤2π,0≤θ≤2π},故
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