理论教育 微积分典型习题解法-微积分典型例题与解法

微积分典型习题解法-微积分典型例题与解法

时间:2023-10-23 理论教育 版权反馈
【摘要】:1.求下列函数的偏导数.(1)设z=euSINv,而u=×y,v=×+y,求和;(2)设u=f(×,y,z)=e×2+y2+z2,而z=×2SINy,求和;(3)设z=uv,而u=×+2y,v=×-y,求和;(4)设u=f(×2-y2,e×y),求和;(5)设,求,和.解 (1)(2)(3)(4)(5)2.设z=f(×y,×2+y2),其中f具有二阶连续偏导数,求,.解 令S=×y,t=×2+y2

微积分典型习题解法-微积分典型例题与解法

1.求下列函数的偏导数

(1)设z=eSIN,而u=×yv=×+y,求978-7-111-41532-9-Chapter07-307.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-308.jpg

(2)设u=f×e×2+y2+z2,而z=×2SIN,求978-7-111-41532-9-Chapter07-309.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-310.jpg

(3)设z=u,而u=×+2v=×-y,求978-7-111-41532-9-Chapter07-311.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-312.jpg

(4)设u=f×2-y2,e×y),求978-7-111-41532-9-Chapter07-313.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-314.jpg

(5)设978-7-111-41532-9-Chapter07-315.jpg,求978-7-111-41532-9-Chapter07-316.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-317.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-318.jpg

(1)978-7-111-41532-9-Chapter07-319.jpg

(2)978-7-111-41532-9-Chapter07-321.jpg

(3)978-7-111-41532-9-Chapter07-323.jpg

(4)978-7-111-41532-9-Chapter07-325.jpg

(5)978-7-111-41532-9-Chapter07-326.jpg

2.设z=f×y×2+y2),其中f具有二阶连续偏导数,求978-7-111-41532-9-Chapter07-328.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-329.jpg

S=×yt=×2+y2,则z=f×y×2+y2),S是中间变量978-7-111-41532-9-Chapter07-330.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-331.jpg

因为fS)是S的函数,所以f′1f2也是S的函数,从而f′1f2是以S为中间变量的×的函数.故

3.设z=×y+×f),而978-7-111-41532-9-Chapter07-334.jpgf)为可导函数,证明

978-7-111-41532-9-Chapter07-336.jpg

4.设z=f[e×y,CoS(×y)],f为可导函数,证明

S=e×yt=CoS(×y),则

所以有

5.设f×=f×+g)],其中f具有二阶导数,g具有一阶导数,证明

S=×+g),则有

978-7-111-41532-9-Chapter07-343.jpg所以有978-7-111-41532-9-Chapter07-344.jpg.(www.daowen.com)

6.求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数.

(1)设978-7-111-41532-9-Chapter07-345.jpg,求978-7-111-41532-9-Chapter07-346.jpg

(2)设e-×yz=0,求978-7-111-41532-9-Chapter07-347.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-348.jpg

(3)设×+y-z=×ez-y-×,求978-7-111-41532-9-Chapter07-349.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-350.jpg

(4)设978-7-111-41532-9-Chapter07-351.jpg,求978-7-111-41532-9-Chapter07-352.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-353.jpg

(1)设978-7-111-41532-9-Chapter07-354.jpg,则

(2)设f×e-×yz,则f×=-yzfe-×yf=-×z

于是978-7-111-41532-9-Chapter07-356.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-357.jpg

(3)f×=×ez-y-×-×+y-z),则

f×ez-y-×ez-y-×-1,f=-×ez-y-×-1,f=×ez-y-×+1

于是978-7-111-41532-9-Chapter07-358.jpg

(4)令978-7-111-41532-9-Chapter07-360.jpg,则978-7-111-41532-9-Chapter07-361.jpgf978-7-111-41532-9-Chapter07-362.jpg

于是978-7-111-41532-9-Chapter07-363.jpg

7.设u=f×)有连续的偏导数,y=y×)和z=z×)分别由e×y-y=0和e-×z=0所确定,求978-7-111-41532-9-Chapter07-365.jpg

f×e×y-y,则f×=ye×yf=×e×y-1,

g×e-×z,则g×=-zge

所以978-7-111-41532-9-Chapter07-368.jpg

8.设f)具有连续偏导数,证明由方程fC×-AzCy-Bz0所确定的函数z=f×)满足978-7-111-41532-9-Chapter07-369.jpg

u=C×-Azv=Cy-Bz,则

于是978-7-111-41532-9-Chapter07-371.jpg

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