1.求下列函数的一阶偏导数.
(1)z=×3y-y3× (2)
(3)z=SIN(×y)+CoS2(×y)
(4) (5)z=(1+×y)y (6)
解 (1),
(2)
(3)
(4)
(5)
(6),,
2.设,求f×′(×,1).
解 解法一 由于
解法二.
3.设f(×,y)=e×2+y2,求f×′(1,1),fy′(1,0).
解 解法一 由于f(×,1)=e×2+1,所以f×′(×,1)=e×2+1·2×,f×′(1,1)=2e2.
由于f(1,y)=e1+y2,所以fy′(1,y)=e1+y2·2y,fy′(1,0)=0.
解法二f×′(×,y)=e×2+y2·2×,fy′(×,y)=e×2+y2·2y
f×′(1,1)=e1+1·2=2e2,fy′(1,0)=e1+0·2·0=0.
4.设z=×lN(×y),求.y
解 因为,
所以.
5.验证函数满足方程.
证 因为,同理,(www.daowen.com)
而,
所以
6.证明函数在点(0,0)处偏导数不存在,但在该点连续.
证 因为,此极限不存在,所以函数在(0,0)处对×的偏导数不存在,同理函数在(0,0)处对y的偏导数也不存在.
但是,所以函数在该点连续.
7.考虑二元函数f(×,y)的下面四条性质,说出它们之间的关系.
(1)f(×,y)在点(×0,y0)连续(2)f×′(×,y),fy′(×,y)在点(×0,y0)连续
(3)f(×,y)在点(×0,y0)可微(4)f×′(×,y),fy′(×,y)在点(×0,y0)存在
解 由于二元函数偏导数存在且连续是二元函数可微分的充分条件,二元函数可微分必定可(偏)导,二元函数可微分必定连续.因此(2)⇒(3)⇒(1).
8.求下列函数的全微分.
(1) (2)u=×yz
解 (1),
(2),,
9.求函数z=lN(1+×2+y2)在×=1,y=2,Δ×=0.1,Δy=-0.1时的全微分.
解 因为
2yΔy),
所以当×=1,y=2,Δ×=0.1,Δy=-0.1时全微分为
10.已知边长为×=6m与y=8m的矩形,如果×边增加5Cm而y边减少10Cm,此矩形对角线变化的近似值.
解 矩形的对角线的长为,
当×=6,y=8,Δ×=0.05,Δy=-0.1时,
即这个矩形的对角线的长减少大约5Cm.
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