理论教育 微积分典型例题与解法-一阶偏导数求解与应用

微积分典型例题与解法-一阶偏导数求解与应用

时间:2023-10-23 理论教育 版权反馈
【摘要】:1.求下列函数的一阶偏导数.(1)z=×3y-y3× (2)(3)z=SIN(×y)+CoS2(×y)(4)(5)z=(1+×y)y (6)解 (1),(2)(3)(4)(5)(6),,2.设,求f×′(×,1).解 解法一 由于解法二.3.设f(×,y)=e×2+y2,求f×′(1,1),fy′(1,0).解 解法一 由于f(×,1)=e×2+1,所以f×′(×,1)=e×2+1·2×,f×′

微积分典型例题与解法-一阶偏导数求解与应用

1.求下列函数的一阶偏导数

(1)z=×3y-y3× (2)978-7-111-41532-9-Chapter07-263.jpg

(3)z=SIN(×y+CoS2×y

(4)978-7-111-41532-9-Chapter07-264.jpg (5)z=(1+×y (6)978-7-111-41532-9-Chapter07-265.jpg

(1)978-7-111-41532-9-Chapter07-266.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-267.jpg

(2)978-7-111-41532-9-Chapter07-268.jpg

(3)978-7-111-41532-9-Chapter07-270.jpg

(4)978-7-111-41532-9-Chapter07-272.jpg

(5)978-7-111-41532-9-Chapter07-274.jpg

(6)978-7-111-41532-9-Chapter07-276.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-277.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-278.jpg

2.设978-7-111-41532-9-Chapter07-279.jpg,求f××,1)

解 解法一 由于978-7-111-41532-9-Chapter07-280.jpg

解法二978-7-111-41532-9-Chapter07-281.jpg

3.设f×e×2+y2,求f×(1,1),f(1,0)

解 解法一 由于f×,1)e×2+1,所以f××,1)e×2+1·2×f×(1,1)2e2

由于f(1,e1+y2,所以f(1,e1+y2·2f(1,0)0

解法二f××e×2+y2·2×f×e×2+y2·2

f×(1,1)e1+1·22e2f(1,0)e1+0·2·00.

4.设z=×lN(×y),求978-7-111-41532-9-Chapter07-282.jpg.y

因为978-7-111-41532-9-Chapter07-283.jpg

所以978-7-111-41532-9-Chapter07-284.jpg

5.验证函数978-7-111-41532-9-Chapter07-285.jpg满足方程978-7-111-41532-9-Chapter07-286.jpg

因为978-7-111-41532-9-Chapter07-287.jpg,同理978-7-111-41532-9-Chapter07-288.jpg,(www.daowen.com)

978-7-111-41532-9-Chapter07-289.jpg

所以978-7-111-41532-9-Chapter07-290.jpg

6.证明函数978-7-111-41532-9-Chapter07-291.jpg在点(0,0)处偏导数不存在,但在该点连续

因为978-7-111-41532-9-Chapter07-292.jpg,此极限不存在,所以函数在(0,0)处对×的偏导数不存在,同理函数在(0,0)处对的偏导数也不存在

但是978-7-111-41532-9-Chapter07-293.jpg,所以函数在该点连续

7.考虑二元函数f×)的下面四条性质,说出它们之间的关系

(1)f×)在点(×00)连续(2)f××),f×)在点(×00)连续

(3)f×)在点(×00)可微(4)f××),f×)在点(×00)存在

由于二元函数偏导数存在且连续是二元函数可微分充分条件,二元函数可微分必定可(偏)导,二元函数可微分必定连续因此(2)⇒(3)⇒(1)

8.求下列函数的全微分.

(1)978-7-111-41532-9-Chapter07-294.jpg (2)u=×yz

(1)978-7-111-41532-9-Chapter07-295.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-296.jpg

(2)978-7-111-41532-9-Chapter07-298.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-299.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-300.jpg978-7-111-41532-9-Chapter07-301.jpg

9.求函数z=lN(12+y2)在×=1,y=2,Δ×=0.1,Δy=-0.1时的全微分

因为978-7-111-41532-9-Chapter07-302.jpg

2Δ),

所以当×=1,y=2,Δ×=0.1,Δy=-0.1时全微分为

10.已知边长为×=6m与y=8m的矩形,如果×边增加5Cm而边减少10Cm,此矩形对角线变化的近似值

矩形的对角线的长为978-7-111-41532-9-Chapter07-304.jpg

×=6,y=8,Δ×=005,Δy=-0.1时,

即这个矩形的对角线的长减少大约5Cm.

免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。

我要反馈