1．用换元法计算下列各定积分．

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

解 （1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

2．用分部积分计算下列各定积分．

（1） （2）

（3）

（4） （5）解（1）

（2）

因此有．

（3）

（4）

（5）

3．利用函数奇偶性计算下列各定积分．

（1） （2）

（3） （4）

（5）

解 （1）由于被积函数是奇函数，因此．

（2）由于被积函数是奇函数，因此．

（3）．

（4）．

（5），易看出被积函数是奇函数，则有．

4．利用

，求∫×．

解

5．设函数公式

计算

．(www.daowen.com)

解

6．设f（×）连续，

，求．

解

等式两边对×求导，则有

，故有．

7．证明：（1）若f（×）为连续的偶函数，则为奇函数；

（2）若f（×）为连续的奇函数，则

为偶函数（A为任意

常数）．

证（1）因为

所以f（×）为奇函数．

（2）因为f（×），所以f（×）为偶函数．

8．证明

．

证而

所以，当N为偶数时，，

当N为奇数时，

9．设f（π）＝1，且，求f（0）．

解

而f（π）＝1，所以f（0）＝2．

10．设函数f（×）在（-∞，+∞）内满足f（×）＝f（×-π）+SIN×，且f（×）＝×，×∈［0，π］，计算

解

11．，计算

解

注　本题利用了二重积分中交换积分次序．

12．设f（×）为连续函数，且，已知f（1）＝1，求

解 令2×-ｔ＝ｕ，则

方程两边对×求导，可得

又因为f（1）＝1，所以有

13．设f（×）为连续函数，且f（0）≠0，

解