1.验证y1=CoSω×,y2=SINω×都是微分方程y″+ωy=0的解,并写出该方程的通解.
证 易得y′1=-ωSINω×,y″1=-ω2CoSω×,将y1=CoSω×,y″1=-ω2CoSω×带入微分方程,显然方程变为了恒等式,故y1=CoSω×是微分方程y″+ωy=0的解.
y2′=ωCoSω×,y″2=-ω2SINω×,将y2=SINω×,y″2=-ω2SINω×带入微分方程,显然方程变为了恒等式,故y2=SINω×是微分方程y″+ωy=0的解.
解 微分方程的解y1=CoSω×,y2=SINω×是线性无关的,故由二阶线性其次方程解的性质知该方程的通解为
y=C1CoSω×+C2SINω×
2.验证y1=e×2,y2=×e×2都是微分方程y″-4×y′+(4×2-2)y=0的解,并写出该方程的通解.
证 易得y′1=2×e×2,y″1=2e×2+4×2e×2,将上两式与y1=e×2带入微分方程,显然方程变为了恒等式,故y1=e×2是微分方程y″-4×y′+(4×2-2)y=0的解.
易得y2′=e×2+2×2e×2,y″2=6×e×2+4×3e×2,将上两式与y2=×e×2带入微分方程,显然方程变为了恒等式,故y2=×e×2是微分方程y″-4×y′+(4×2-2)y=0的解.
解 微分方程的解y1=e×2,y2=×e×2是线性无关的,故由二阶线性其次方程解的性质知该方程的通解为
y=C1e×2+C2×e×2
即
y=e×2(C1+C2×)
3.已知y1=3,y2=3+×2,y3=3+×2+e×都是微分方程
(×2-2×)y″-(×2-2)y′+(2×-2)y=6×-6的解,求该方程的通解.
解 微分方程有特解y1=3,显然y=×2和y=×2+e×是微分方程所对应的齐次方程的两个线性无关的解,故由线性非齐次方程的解的结构知原方程的通解为
y=C1×2+C2e×+3
4.已知y1=CoS×,y2=SIN×都是微分方程y″+y=0的解,y∗=×2-2是y″+y=×2的解,求y″+y=×2的通解.
解 由条件知y1=CoS×,y2=SIN×是方程y″+y=×2所对应的齐次方程的两个线性无关的解,故由线性非齐次方程的解的结构知原方程的通解为
y=C1CoS×+C2CoS×+×2-2
5.求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解.
(1)y″-2y′-3y=0
(2)y″+4y′+4y=0
(3)y″+2y′+5y=0
(4)y″+3y′+2y=0,y′丨×=0=1,y丨×=0=1
(5)y″+25y=0,y′丨×=0=5,y丨×=0=2
(6)4y″+4y′+y=0,y′丨×=0=0,y丨×=0=2
解 (1)特征方程为
λ2-2λ-3=0
特征根为
λ1=-1,λ2=3
故方程的通解为
y=C1e-×+C2e3×
(2)特征方程为
λ2+4λ+4=0
特征根为
λ1=λ2=-2
故方程的通解为
y=C1e-2×+C2×e-2×=e-2×(C1+C2×)
(3)特征方程为
λ2+2λ+5=0
特征根为
λ=-1±2I
故方程的通解为
y=e-×(C1CoS2×+C2SIN2×)
(4)特征方程为
λ2+3λ+2=0
特征根为
λ1=-2,λ2=-1
故方程的通解为
y=C1e-2×+C2e-×
将y×=0=1代入通解,得C1+C2=1.由y′=-2C1e-2×-C2e-×,以y′×=0=1
代入得-2C1-C2=1.因此C1=-2,C2=3,故所求特解为
y=-2e-2×+3e-×
(5)特征方程为
λ2+25=0
特征根为
λ=±5I
故方程的通解为
y=C1CoS5×+C2SIN5×
将y丨×=0=2代入通解,得C1=2,从而y=2CoS5×+C2SIN5×
由y′=-10SIN5×+5C2CoS5×,以y′丨×=0=5代入得C2=1.故所求特解为
y=2CoS5×+SIN5×
(6)特征方程为
4λ2+4λ+1=0
特征根为
故方程的通解为
将y×=0=2代入通解,得C1=2,从而.
由,以y′×=0=0代入得C2=1. 故所求特解为
6.求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解.
(1)y″-5y′+6y=×e×
(2)y″-2y′-3y=3×+1
(3)y″+y=2×+1
(4)y″-2y′+5y=CoS2×
(5)y″+y′-2y=e-2×SIN×
(6)y″-2y′-e2×=0,y′×=0=1,y×=0=1
解 (1)齐次方程的特征方程为λ2-5λ+6=0,其特征根为λ1=2,λ2=3.因此对应的齐次方程的通解为
C1e2×+C2e3×
再求非齐次方程的特解.因α=1不是特征方程的根,故设特解为
y∗=(A×+B)e×
则y∗′=(A×+A+B)e×,y∗″=(A×+2A+B)e×.将y∗,y∗′,y∗″代入原方程得
2A×-3A+2B=×
比较系数得,解得.
因此,非齐次方程的特解为
所以,原方程的通解为
(2)齐次方程的特征方程为λ2-2λ-3=0,其特征根为λ1=-1,λ2=3.因此对应的齐次方程的通解为
C1e-×+C2e3×
再求非齐次方程的特解.因α=0不是特征方程的根,故设特解为
y∗=A×+B
则y∗′=A,y∗″=0.将y∗,y∗′,y∗″代入原方程得
-2A-3A×-3B=3×+1
比较系数得,解得.
因此,非齐次方程的特解为
所以,原方程的通解为
(3)齐次方程的特征方程为λ2+1=0,其特征根为λ=±I.因此对应的齐次方程的通解为
C1CoS×+C2SIN×
再求非齐次方程的特解.因α=0不是特征方程的根,故设特解为
y∗=A×+B(www.daowen.com)
则y∗′=A,y∗″=0.将y∗,y∗′,y∗″代入原方程得
A×+B=2×+1
比较系数得.
因此,非齐次方程的特解为
y∗=2×+1
所以,原方程的通解为
y=C1CoS×+C2SIN×+2×+1
(4)齐次方程的特征方程为λ2-2λ+5=0,其特征根为λ=1±2I.因此对应的齐次方程的通解为
e×(C1CoS2×+C2SIN2×)
再求非齐次方程的特解.因α+Iβ=0+2I不是特征方程的根,故设特解为
y∗=ACoS2×+BSIN2×
则y∗′=-2ASIN2×+2BCoS2×,y∗″=-4ACoS2×-4BSIN2×.将y∗,y∗′,y∗″代入
原方程整理得
(A-4B)CoS2×+(4A+B)SIN2×=CoS2×
比较系数得,解得.
因此,非齐次方程的特解为
所以,原方程的通解为
(5)齐次方程的特征方程为λ2+λ-2=0,其特征根为λ1=-2,λ2=1.因此对应的齐次方程的通解为
C1e-2×+C2e×
再求非齐次方程的特解.因α+Iβ=-2+I不是特征方程的根,故设特解为
y∗=(ACoS×+BSIN×)e-2×
则
y∗′=[(-A-2B)SIN×+(B-2A)CoS×]e-2×
y∗″=[(4A+3B)SIN×+(3A-4B)CoS×]e-2×
将y∗,y∗′,y∗″代入原方程整理得
(3A-B)SIN×-(A+3B)CoS×=SIN×
比较系数得
,解得
.
因此,非齐次方程的特解为
所以,原方程的通解为
(6)齐次方程的特征方程为λ2-2λ=0,其特征根为λ1=0,λ2=2.因此对应的齐次方程的通解为
C1+C2e2×
再求非齐次方程的特解.因α=2是特征方程的一重根,故设特解为
y∗=A×e2×
则y∗′=A(1+2×)e2×,y∗″=4A(1+×)e2×.将y∗,y∗′,y∗″代入原方程整理得.
因此,非齐次方程的特解为
所以,原方程的通解为
将y×=0=1代入通解,得C1+C2=1.由,以y′×=0=1代入得,因此.故所求特解为
7.设函数y=y(×)满足y″-3y′+2y=2e×,且其图像在点(0,1)处的切线与曲线y=×2-×+1在该点的切线重合,求函数y=y(×).
解 曲线y=×2-×+1在点(0,1)处的切线斜率为y′×=0=2×-1×=0=-1,故由题意知函数y=y(×)在点(0,1)处的切线斜率也是-1,即y=y(×)满足初始条件y′×=0=-1,且显然函数过点(0,1),即y×=0=1.
微分方程y″-3y′+2y=2e×所对应的齐次方程的特征方程为λ2-3λ+2=0,其特征根为λ1=1,λ2=2.因此对应的齐次方程的通解为
C1e×+C2e2×
再求非齐次方程的特解.因α=1是特征方程的一重根,故设特解为
y∗=A×e×
则y∗′=A(1+×)e×,y∗″=A(2+×)e×.将y∗,y∗′,y∗″代入原微分方程整理得A=-2.
因此,非齐次方程的特解为
y∗=-2×e×
所以,原方程的通解为
y=C1e×+C2e2×-2×e×=(C1-2×)e×+C2e2×
将初始条件y×=0=1代入上式,得C1+C2=1.由y′=(C1-2×-2)e×+2C2e2×,以y′×=0=-1代入得C1+2C2=1,因此C1=1,C2=0.故所求函数y=y(×)为
y=(1-2×)e×
8.设函数φ(×)连续,且满足
,求φ(×).
解 显然φ(0)=1.两边求导得
,即易知φ′(0)=1.上式再次求导得
φ″(×)+φ(×)=e×
其所对应的齐次方程的特征方程λ2+1=0的特征根为λ=±I,于是对应齐次方程的通解为
C1CoS×+C2SIN×
再求非齐次方程的特解.因α=1不是特征方程的根,故设特解为
y∗=Ae×
则y∗′=y∗″=Ae×.将y∗,y∗′,y∗″代入原微分方程整理得.
因此,非齐次方程的特解为
所以,原方程的通解为
将φ(0)=1代入上式得.由,以φ′(0)=1代入可得,因此所求函数
9.已知二阶常系数非齐次线性微分方程有两个特解,,求此微分方程.
解 设所求微分方程为y″+Ay′+By=f(×).由于y1,y2都是微分方程的解,故将y1,y2代入微分方程,则微分方程都应变为恒等式.根据y1,y2的特点知,两个恒等式相减,可得
(CoS2×)″-(SIN2×)″+A(CoS2×)′-A(SIN2×)′+BCoS2×-BSIN2×=0
即
(-4-2A+B)CoS2×+(4-2A-B)SIN2×=0
比较系数得方程组
解得
A=0,B=4
故微分方程为
y″+4y=f(×)
将,,y″1=-5CoS2×+×SIN2×代入上式,则可得f(×)=-CoS2×.因此所求微分方程为
y″+4y=-CoS2×
10.设y=e2×+(1+×)e×是二阶常系数非齐次线性微分方程y″+αy′+βy=γe×的一个特解,求α2+β2+γ2.
解 易知y′=2e2×+(2+×)e×,y″=4e2×+(3+×)e×.因为y=e2×+(1+×)e×是方程的解,故将y,y′,y″代入微分方程,微分方程应变为恒等式,即
(4+2α+β)e2×+(3+2α+β)e×+(1+α+β)×e×=γe×
比较系数得方程组
解得
α=-3,β=2,γ=1
故
α2+β2+γ2=14
11.设y=y(×)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y′≠0,×=×(y)是y=y(×)的反函数,试求微分方程=0的通解.
解 由×=×(y)是y=y(×)的反函数,故由反函数的求导法则知,因此
故微分方程变为
微分方程
所对应的齐次方程的特征方程为λ2-1=0,其特征根为λ1=1,λ2=-1.因此对应的齐次方程的通解为
C1e×+C2e-×
再求非齐次方程的特解.因α=0是不是特征方程的根,故设特解为
y∗=ACoS×+BSIN×
则y∗′=-ASIN×+BCoS×,y∗″=-ACoS×-BSIN×.将y∗,y∗′,y∗″代入非齐次微分方程整理得A=0,.因此,非齐次方程的特解为
所以,原方程的通解为
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