理论教育 微积分例题:验证和求解微分方程

微积分例题:验证和求解微分方程

时间:2023-10-23 理论教育 版权反馈
【摘要】:1.验证y1=CoSω×,y2=SINω×都是微分方程y″+ωy=0的解,并写出该方程的通解.证 易得y′1=-ωSINω×,y″1=-ω2CoSω×,将y1=CoSω×,y″1=-ω2CoSω×带入微分方程,显然方程变为了恒等式,故y1=CoSω×是微分方程y″+ωy=0的解.y2′=ωCoSω×,y″2=-ω2SINω×,将y2=SINω×,y″2=-ω2SINω×带入微分方程,显然方程变为了

微积分例题:验证和求解微分方程

1.验证1=CoSω×2=SINω×都是微分方程y″+ωy=0的解,并写出该方程的通解

易得y′1=-ωSINω×y″1=-ω2CoSω×,将1=CoSω×y″1=-ω2CoSω×带入微分方程,显然方程变为了恒等式,故1=CoSω×是微分方程y″+ωy=0的解

2ωCoSω×y″2=-ω2SINω×,将2=SINω×y″2=-ω2SINω×带入微分方程,显然方程变为了恒等式,故2=SINω×是微分方程y″+ωy=0的解

微分方程的解1=CoSω×2=SINω×线性无关的,故由二阶线性其次方程解的性质知该方程的通解为

C1CoSω×+C2SINω×

2.验证1=e×22×e×2都是微分方程y″-4×y′+(4×2-2)=0的解,并写出该方程的通解

易得y′1=2×e×2y″1=2e×2+4×2e×2,将上两式与1=e×2带入微分方程,显然方程变为了恒等式,故1=e×2是微分方程y″-4×y′+(4×2-2)=0的解

易得2=e×2+2×2e×2y″2=6×e×2+4×3e×2,将上两式与2×e×2带入微分方程,显然方程变为了恒等式,故2×e×2是微分方程y″-4×y′+(4×2-2)=0的解

微分方程的解1=e×22×e×2是线性无关的,故由二阶线性其次方程解的性质知该方程的通解为

C1e×2+C2×e×2

=e×2C1+C2×

3.已知1=3,2=3+×23=3+×2+e×都是微分方程

×2-2×y″-(×2-2)y′+(2×-2)=6×-6的解,求该方程的通解

微分方程有特解1=3,显然×2×2+e×是微分方程所对应的齐次方程的两个线性无关的解,故由线性非齐次方程的解的结构知原方程的通解为

C1×2+C2e×+3

4.已知1=CoS×2=SIN×都是微分方程y″+=0的解,∗=×2-2是y″+×2的解,求y″+×2的通解

由条件知1=CoS×2=SIN×是方程y″+×2所对应的齐次方程的两个线性无关的解,故由线性非齐次方程的解的结构知原方程的通解为

C1CoS×+C2CoS×+×2-2

5.求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解

(1)y″-2y′-3=0

(2)y″+4y′+4=0

(3)y″+2y′+5=0

(4)y″+3y′+2=0,y′×=0=1,×=0=1

(5)y″+25=0,y′×=0=5,×=0=2

(6)4y″+4y′+=0,y′×=0=0,×=0=2

(1)特征方程为

λ2-2λ-3=0

特征根为

λ1=-1,λ2=3

故方程的通解为

C1e-×+C2e3×

(2)特征方程为

λ2+4λ+4=0

特征根为

λ1λ2=-2

故方程的通解为

C1e-2×+C2×e-2×=e-2×C1+C2×

(3)特征方程为

λ2+2λ+5=0

特征根为

λ=-1±2I

故方程的通解为

=e-×C1CoS2×+C2SIN2×

(4)特征方程为

λ2+3λ+2=0

特征根为

λ1=-2,λ2=-1

故方程的通解为

C1e-2×+C2e-×

×=0=1代入通解,得C1+C2=1.由y′=-2C1e-2×-C2e-×,以y′×=0=1

代入得-2C1-C2=1.因此C1=-2,C2=3,故所求特解为

=-2e-2×+3e-×

(5)特征方程为

λ2+25=0

特征根为

λ=±5I

故方程的通解为

C1CoS5×+C2SIN5×

×=0=2代入通解,得C1=2,从而=2CoS5×+C2SIN5×

y′=-10SIN5×+5C2CoS5×,以y′×=0=5代入得C2=1.故所求特解为

=2CoS5×+SIN5×

(6)特征方程为

4λ2+4λ+1=0

特征根为

故方程的通解为

×=0=2代入通解,得C1=2,从而978-7-111-41532-9-Chapter05-279.jpg

978-7-111-41532-9-Chapter05-280.jpg,以y′×=0=0代入得C2=1. 故所求特解为

6.求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解

(1)y″-5y′+6×e×

(2)y″-2y′-3=3×+1

(3)y″+=2×+1

(4)y″-2y′+5=CoS2×

(5)y″+y′-2=e-2×SIN×

(6)y″-2y′-e2×=0,y′×=0=1,×=0=1

(1)齐次方程的特征方程为λ2-5λ+6=0,其特征根为λ1=2,λ2=3.因此对应的齐次方程的通解为

C1e2×+C2e3×

再求非齐次方程的特解α=1不是特征方程的根,故设特解为

=(+B)e×

=(+A+B)e×=(+2A+B)e×∗,代入原方程得

2-3A+2B×

比较系数得978-7-111-41532-9-Chapter05-282.jpg,解得978-7-111-41532-9-Chapter05-283.jpg

因此,非齐次方程的特解为978-7-111-41532-9-Chapter05-284.jpg

所以,原方程的通解为978-7-111-41532-9-Chapter05-285.jpg

(2)齐次方程的特征方程为λ2-2λ-3=0,其特征根为λ1=-1,λ2=3.因此对应的齐次方程的通解为

C1e-×+C2e3×

再求非齐次方程的特解α=0不是特征方程的根,故设特解为

+B

A=0.将∗,代入原方程得

-2A-3-3B=3×+1

比较系数得978-7-111-41532-9-Chapter05-286.jpg,解得978-7-111-41532-9-Chapter05-287.jpg

因此,非齐次方程的特解为

所以,原方程的通解为

(3)齐次方程的特征方程为λ2+1=0,其特征根为λ=±I因此对应的齐次方程的通解为

C1CoS×+C2SIN×

再求非齐次方程的特解α=0不是特征方程的根,故设特解为

+B(www.daowen.com)

A=0.将代入原方程得

+B=2×+1

比较系数得978-7-111-41532-9-Chapter05-290.jpg

因此,非齐次方程的特解为

=2×+1

所以,原方程的通解为

C1CoS×+C2SIN×+2×+1

(4)齐次方程的特征方程为λ2-2λ+5=0,其特征根为λ=1±2I因此对应的齐次方程的通解为

e×C1CoS2×+C2SIN2×

再求非齐次方程的特解α+Iβ=0+2I不是特征方程的根,故设特解为

ACoS2×+BSIN2×

=-2ASIN2×+2BCoS2×=-4ACoS2×-4BSIN2×.代入

原方程整理得

A-4B)CoS2×+(4A+B)SIN2×=CoS2×

比较系数得978-7-111-41532-9-Chapter05-291.jpg,解得978-7-111-41532-9-Chapter05-292.jpg

因此,非齐次方程的特解为

所以,原方程的通解为

(5)齐次方程的特征方程为λ2+λ-2=0,其特征根为λ1=-2,λ2=1.因此对应的齐次方程的通解为

C1e-2×+C2e×

再求非齐次方程的特解α+Iβ=-2+I不是特征方程的根,故设特解为

∗=(ACoS×+BSIN×)e-2×

=[(-A-2B)SIN×+(B-2A)CoS×]e-2×

=[(4A+3B)SIN×+(3A-4B)CoS×]e-2×

∗,代入原方程整理得

(3A-B)SIN×-(A+3B)CoS×=SIN×

比较系数得

,解得

因此,非齐次方程的特解为

所以,原方程的通解为

(6)齐次方程的特征方程为λ2-2λ=0,其特征根为λ1=0,λ2=2.因此对应的齐次方程的通解为

C1+C2e2×

再求非齐次方程的特解α=2是特征方程的一重根,故设特解为

e2×

A(1+2×)e2×=4A(1+×)e2×代入原方程整理得978-7-111-41532-9-Chapter05-299.jpg

因此,非齐次方程的特解为

所以,原方程的通解为

×=0=1代入通解,得C1+C2=1.由978-7-111-41532-9-Chapter05-302.jpg,以y′×=0=1代入得978-7-111-41532-9-Chapter05-303.jpg,因此978-7-111-41532-9-Chapter05-304.jpg故所求特解为

7.设函数×)满足y″-3y′+2=2e×,且其图像在点(0,1)处的切线与曲线×2-×+1在该点的切线重合,求函数×

 曲线×2-×+1在点(0,1)处的切线斜率为y′×=0=2×-1×=0=-1,故由题意知函数×)在点(0,1)处的切线斜率也是-1,即×)满足初始条件y′×=0=-1,且显然函数过点(0,1),即×=0=1

微分方程y″-3y′+2=2e×所对应的齐次方程的特征方程为λ2-3λ+2=0,其特征根为λ1=1,λ2=2.因此对应的齐次方程的通解为

C1e×+C2e2×

再求非齐次方程的特解α=1是特征方程的一重根,故设特解为

e×

A(1+×)e×A(2+×)e×代入原微分方程整理得A=-2.

因此,非齐次方程的特解为

=-2×e×

所以,原方程的通解为

C1e×+C2e2×-2×e×=(C1-2×)e×+C2e2×

将初始条件×=0=1代入上式,得C1+C2=1.由y′=(C1-2×-2)e×+2C2e2×,以y′×=0=-1代入得C1+2C2=1,因此C1=1,C2=0.故所求函数×)为

=(1-2×)e×

8.设函数φ×)连续,且满足

978-7-111-41532-9-Chapter05-306.jpg,求φ×

显然φ(0)=1.两边求导

978-7-111-41532-9-Chapter05-307.jpg,即978-7-111-41532-9-Chapter05-308.jpg易知φ′(0)=1.上式再次求导得

φ″×)+φ×)=e×

其所对应的齐次方程的特征方程λ2+1=0的特征根为λ=±I,于是对应齐次方程的通解为

C1CoS×+C2SIN×

再求非齐次方程的特解α=1不是特征方程的根,故设特解为

Ae×

Ae×代入原微分方程整理得978-7-111-41532-9-Chapter05-309.jpg

因此,非齐次方程的特解为

所以,原方程的通解为

φ(0)=1代入上式得978-7-111-41532-9-Chapter05-312.jpg978-7-111-41532-9-Chapter05-313.jpg,以φ′(0)=1代入可得978-7-111-41532-9-Chapter05-314.jpg,因此所求函数

9.已知二阶常系数非齐次线性微分方程有两个特解978-7-111-41532-9-Chapter05-316.jpg978-7-111-41532-9-Chapter05-317.jpg,求此微分方程

设所求微分方程为y″+Ay′+Byf×由于12都是微分方程的解,故将12代入微分方程,则微分方程都应变为恒等式根据12的特点知,两个恒等式相减,可得

(CoS2×-(SIN2×+A(CoS2×-A(SIN2×+BCoS2×-BSIN2×=0

(-4-2A+B)CoS2×+(4-2A-B)SIN2×=0

比较系数得方程组

解得

A=0,B=4

故微分方程为

y″+4f×

978-7-111-41532-9-Chapter05-319.jpg978-7-111-41532-9-Chapter05-320.jpgy″1=-5CoS2×+×SIN2×代入上式,则可得f×)=-CoS2×.因此所求微分方程为

y″+4=-CoS2×

10.设=e2×+(1+×)e×是二阶常系数非齐次线性微分方程y″+αy′+βyγe×的一个特解,求α2+β2+γ2

易知y′=2e2×+(2+×)e×y″=4e2×+(3+×)e×因为=e2×+(1+×)e×是方程的解,故将y′y″代入微分方程,微分方程应变为恒等式,即

(4+2α+β)e2×+(3+2α+β)e×+(1+α+β×e×γe×

比较系数得方程组

解得

α=-3,β=2,γ=1

α2+β2+γ2=14

11.设×)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y′≠0,××)是×)的反函数,试求微分方程978-7-111-41532-9-Chapter05-322.jpg=0的通解

××)是×)的反函数,故由反函数的求导法则知978-7-111-41532-9-Chapter05-323.jpg,因此

故微分方程变为

微分方程978-7-111-41532-9-Chapter05-326.jpg

所对应的齐次方程的特征方程为λ2-1=0,其特征根为λ1=1,λ2=-1.因此对应的齐次方程的通解为

C1e×+C2e-×

再求非齐次方程的特解α=0是不是特征方程的根,故设特解为

ACoS×+BSIN×

=-ASIN×+BCoS×=-ACoS×-BSIN×.代入非齐次微分方程整理得A=0,978-7-111-41532-9-Chapter05-327.jpg因此,非齐次方程的特解为

所以,原方程的通解为

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