1.试说出下列微分方程的阶数.
(1)×(y′)2-2yy′+×=0 (2)×2y″-×y′+y=0
(3)(7×-6y)D×+(×+y)Dy=0 (4).
解 微分方程的阶是由微分方程中出现的未知函数的最高导数的阶数所确定的,故微分方程的阶数分别为(1)一阶,(2)二阶,(3)一阶,(4)三阶.
2.验证下列各给定函数是其对应微分方程的解.
(1)×y′=2y,y=5×2
(2)y″+y=0,y=3SIN×-4CoS×
(3)y″-(λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0,y=C1eλ1×+C2eλ2×
(4)×yy″+×(y′)2-yy′=0,
解 (1)由于y=5×2,故y′=10×,代入微分方程,左端=×·10×=10×2,右端=2y=10×2,故y=5×2是微分方程的解.
(2)由于y=3SIN×-4CoS×,故y′=3CoS×+4SIN×,y″=-3SIN×+4CoS×,代入微分方程,
左端=-3SIN×+4CoS×+3SIN×-4CoS×=0
故y=3SIN×-4CoS×是微分方程的解.
(3)由于y=C1eλ1×+C2eλ2×,故y′=C1λ1eλ1×+C2λ2eλ2×,y″=C1λ21eλ1×+C2λ22eλ2×,代入微分方程,
左端=C1λ21eλ1×+C2λ22eλ2×-(λ1+λ2)C1λ1eλ1×+C2λ2eλ2×+λ1λ2(C1eλ1×+C2eλ2×)=0
故y=C1eλ1×+C2eλ2×是微分方程的解.
(4)由两边同时对×求导得,,从而得到,此
式再对×求导得
代入微分方程,
故是微分方程的解.(www.daowen.com)
3.在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,使函数满足所给的初始条件:
(1)×2-y2=C,y×=0=5
(2)y=(C1+C2×)e2×,y×=0=0,y′×=0=1
解 (1)将y×=0=5代入微分方程得0-25=C,故C=-25.
(2)将y×=0=0代入微分方程得0=C1,故C1=0,从而微分方程变为y=C2×e2×,因此y′=C2e2×+2C2×e2×,将y′×=0=1代入上式得,1=C2,故C2=1,C1=0.
4.设曲线在点(×,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方,试建立曲线所满足的微分方程.
解 曲线在点(×,y)处的切线的斜率为y′,故由条件知曲线所满足的微分方程为y′=×2.
5.设函数y=(1+×)2u(×)是方程的通解,求u(×).
解 由y=(1+×)2u(×)可知y′=2(1+×)u(×)+(1+×)2u′(×),将上面两式代入方程得,
2(1+×)u(×)+(1+×)2u′(×)-2(1+×)u(×)=(1+×)2整理得u′(×)=1,故u(×)=×+C.
6.求连续函数f(×),使它满足
解 由于,再由条件可得上式两端对戈求导得,∫×f(u)Du=×f(×)+×2SIN×
上式两端对×求导
f(×)=f(×)+×f′(×)+2×SIN×+×2CoS×
整理得
f′(×)=-(2SIN×+×CoS×)
两边同时做0到×上的积分得,
f(×)=CoS×-×SIN×+C
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