理论教育 微积分典型例题:求函数f(×)的极值

微积分典型例题:求函数f(×)的极值

时间:2023-10-23 理论教育 版权反馈
【摘要】:1.求函数f(×)=2×3-9×2+12×-3的极值.解f′(×)=6×2-18×+12=6(×2-3×+2),令f′(×)=0,解得×1=1,×2=2,列表讨论如下:所以,点×=1是函数f(×)的极大值点,极大值为f(1)=2,点×=2是函数f(×)的极小值点,极小值为f(2)=1.2.求函数的极值.解,令f′(×)=0,解得,当×=0时,f′(×)不存在.列表讨论如下:所以,点×=0是函数f(

微积分典型例题:求函数f(×)的极值

1.求函数f×)=2×3-9×2+12×-3的极值.

f′×)=6×2-18×+12=6(×2-3×+2),令f′×)=0,解得×1=1,×2=2,列表讨论如下:

所以,点×=1是函数f×)的极大值点,极大值为f(1)=2,点×=2是函数f×)的极小值点,极小值为f(2)=1.

2.求函数978-7-111-41532-9-Chapter03-263.jpg的极值.

978-7-111-41532-9-Chapter03-264.jpg,令f′×)=0,解得978-7-111-41532-9-Chapter03-265.jpg,当×=0时,f′×)不存在.列表讨论如下:

所以,点×=0是函数f×)的极大值点,极大值为f(0)=0,点978-7-111-41532-9-Chapter03-267.jpg是函数f×)的极小值点,极小值为978-7-111-41532-9-Chapter03-268.jpg.

3.求函数f×)=×2-lN×2的极值.

978-7-111-41532-9-Chapter03-269.jpg,令f′×)=0,解得×1=1,×2=-1,当×=0时,f′×)不存在.列表讨论如下:

所以,点×=±1是函数f×)的极小值点,极小值为f(±1)=1,函数f×)无极大值.

4.求函数f×)=×4-2×3+1的极值.

f′×)=4×3-6×2,令f′×)=0,解得×1=0,978-7-111-41532-9-Chapter03-271.jpg,列表讨论如下:

所以,点978-7-111-41532-9-Chapter03-273.jpg是函数f×)的极小值点,极小值为978-7-111-41532-9-Chapter03-274.jpg,函数f×)无极大值.

5.求函数f×)=×4-8×2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值.

f′×)=4×3-16×,令f′×)=0,解得×1=-2,×2=2,而×1=-2不在区间[-1,3]内,故舍去.又有f(-1)=-5,f(2)=-14,f(3)=11.

所以,区间[-1,3]上函数f×)的最大值为f(3)=11,最小值为f(2)=-14.

6.求函数978-7-111-41532-9-Chapter03-275.jpg在区间[0,3]上的最大值和最小值.

978-7-111-41532-9-Chapter03-276.jpg,令f′×)=0,无解.当×=2时f′×)不存在.又有978-7-111-41532-9-Chapter03-277.jpgf(2)=1,f(3)=0.

所以,区间[0,3]上函数f×)的最大值为f(2)=1,最小值为978-7-111-41532-9-Chapter03-278.jpg.

7.将边长为A的一块正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做一个无盖的方格.问截掉的小正方形边长多长时,所得方盒的容积最大?最大容积为多少?

设截掉的小正方形边长为×,则所得方盒的容积f×)=×A-2×)2,从而

f′×A-2×)(A-6×)令f′×)=0,解得978-7-111-41532-9-Chapter03-279.jpg(舍去),978-7-111-41532-9-Chapter03-280.jpg.

根据问题的实际意义,方盒的最大容积一定存在,而驻点唯一,故截掉的小正方形边长为978-7-111-41532-9-Chapter03-281.jpg时方盒的容积最大.又978-7-111-41532-9-Chapter03-282.jpg,故最大容积为978-7-111-41532-9-Chapter03-283.jpg.

8.欲在墙边围一面积为S=8m2的长方形空地.问它的长与宽应分别为多少米时,才能使所用材料的总长度最少?最少长度为多少?

设长方形空地的长为×,则宽为978-7-111-41532-9-Chapter03-284.jpg,故总长度978-7-111-41532-9-Chapter03-285.jpg,从而f′×)=978-7-111-41532-9-Chapter03-286.jpg,令f′×)=0,解得×1=-4(舍去),×2=4.根据问题的实际意义,所用材料的总长度最少一定存在,而驻点唯一,故所用材料的长为4,宽为2时所用材料的总长度最少,又f(4)=8,故最少长度为8.

9.设f×)在(0,δ)内连续,且f(0)=0,978-7-111-41532-9-Chapter03-287.jpg,则( ).

A.f′(0)不存在 B.∃f′(0)≠0

C.在×=0处取极小值 D.在×=0处取极大值

答案应为C.

先研究函数在×=0处的可导性.由978-7-111-41532-9-Chapter03-288.jpg978-7-111-41532-9-Chapter03-289.jpg可得,

因此有978-7-111-41532-9-Chapter03-291.jpg,即有978-7-111-41532-9-Chapter03-292.jpg.又因为978-7-111-41532-9-Chapter03-293.jpg,故可得978-7-111-41532-9-Chapter03-294.jpg,而f(0)=0,所以978-7-111-41532-9-Chapter03-295.jpg.因而f×)可导,且f′(0)=0,因而选项A和B都不对.(www.daowen.com)

再研究函数在×=0处的极值性.由978-7-111-41532-9-Chapter03-296.jpg和函数极限的局部保号性知,存在δ>0,当×978-7-111-41532-9-Chapter03-297.jpg(0,δ)时,有978-7-111-41532-9-Chapter03-298.jpg,即有当978-7-111-41532-9-Chapter03-299.jpg(0,δ)时,f×)>0=f(0),因此f×)在×=0处取极小值.正确答案为C.

10.设fθ)=θSIN θ+(A+1)CoS θA≠1),问

(1)θ=0是否为极值点?

(2)若是,是极大还是极小?

f′θ)=θCoS θ-ASIN θf″θ)=(1-A)CoS θ-θSIN θ.

由于f′(0)=0,f″(0)=1-A≠0,故θ=0为极值点;且当A>1时是极大值点,当A<1时是极小值点.

11.求数列978-7-111-41532-9-Chapter03-300.jpg的最小项.

978-7-111-41532-9-Chapter03-301.jpg,则

由于当1≤×<2e时978-7-111-41532-9-Chapter03-303.jpg,当×>2e时978-7-111-41532-9-Chapter03-304.jpg,而当×≥1时总有978-7-111-41532-9-Chapter03-305.jpg0,从而当1≤×<2e时f′×)<0,当×>2e时从而f′×)>0,故数列978-7-111-41532-9-Chapter03-306.jpg的最小项为978-7-111-41532-9-Chapter03-307.jpg.

12.试证:当0<×<2时,4×lN ×-×2-2×+4>0.

f×)=4×lN ×-×2-2×+4,则f′×)=4lN ×-2×+2,978-7-111-41532-9-Chapter03-308.jpg,且当0<×<2总时f″×)>0,故f′×)在0<×<2上单调递增.又因为978-7-111-41532-9-Chapter03-309.jpg-∞,f′(2)=4lN 2-2=lN978-7-111-41532-9-Chapter03-310.jpg,故由连续函数的介值定理和单调性知存在唯一一点ξ∈(0,2),使得f′ξ)=0.即在(0,ξ)上f′×)<0,在(ξ,2)上f′×)>0,从而f×)在点×ξ处取到最小值.故当0<×<2时f×)>fξ),而

fξ4ξlN ξ-ξ2-2ξ+4=ξf′ξ+ξ-2)20

因此当0<×<2时,f×)=4×lN ×-×2-2×+4>0.

13.某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180美元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加10美元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20美元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?

×为增加租金除以10,设

f×(180+10×)(50-20(50(160+10×)(50)则

f′×10(50-(160+10×340-20×f′×)=0,得×=17,且f″×)=-20<0,故当增加的租金为10×=170美元,即房租定为170+180=350美元时可获得最大收入.

14.求A的取值范围,使函数f×)=×3+32--1无极值.

f′×)=3×2+6-A

当Δ=36A2+12A<0,即978-7-111-41532-9-Chapter03-311.jpg时,f×)无驻点,即f×)无极值.

当Δ=36A2+12A=0,即978-7-111-41532-9-Chapter03-312.jpgA=0时,978-7-111-41532-9-Chapter03-313.jpgf′×)=3×2f×)有一个驻点978-7-111-41532-9-Chapter03-314.jpg×=0.但此时所对应的函数分别为

可知此时f×)无极值.

当Δ=36A2+12A>0,即978-7-111-41532-9-Chapter03-316.jpgA>0时,f×)有两个驻点

f″×)=6×+6A978-7-111-41532-9-Chapter03-318.jpg,可知f×)的两个驻点为

èø极值点.

所以当978-7-111-41532-9-Chapter03-319.jpg时,函数f×)无极值.15.讨论方程lN ×(其中A>0)有几个实根.

f×)=lN ×-×∈(0,+∞),则f978-7-111-41532-9-Chapter03-320.jpg.令f′×)=0,有978-7-111-41532-9-Chapter03-321.jpg故当978-7-111-41532-9-Chapter03-322.jpg时有f′×)<0,从而f×)在978-7-111-41532-9-Chapter03-323.jpg内单调递减;当0<×978-7-111-41532-9-Chapter03-324.jpg时有f′×)>0,从而f×)在978-7-111-41532-9-Chapter03-325.jpg单调递增,故978-7-111-41532-9-Chapter03-326.jpg=-lN A-1为最大值.

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