1.求函数f(×)=2×3-9×2+12×-3的极值.
解f′(×)=6×2-18×+12=6(×2-3×+2),令f′(×)=0,解得×1=1,×2=2,列表讨论如下:
所以,点×=1是函数f(×)的极大值点,极大值为f(1)=2,点×=2是函数f(×)的极小值点,极小值为f(2)=1.
2.求函数的极值.
解,令f′(×)=0,解得,当×=0时,f′(×)不存在.列表讨论如下:
所以,点×=0是函数f(×)的极大值点,极大值为f(0)=0,点是函数f(×)的极小值点,极小值为.
3.求函数f(×)=×2-lN×2的极值.
解,令f′(×)=0,解得×1=1,×2=-1,当×=0时,f′(×)不存在.列表讨论如下:
所以,点×=±1是函数f(×)的极小值点,极小值为f(±1)=1,函数f(×)无极大值.
4.求函数f(×)=×4-2×3+1的极值.
解f′(×)=4×3-6×2,令f′(×)=0,解得×1=0,,列表讨论如下:
所以,点是函数f(×)的极小值点,极小值为,函数f(×)无极大值.
5.求函数f(×)=×4-8×2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值.
解f′(×)=4×3-16×,令f′(×)=0,解得×1=-2,×2=2,而×1=-2不在区间[-1,3]内,故舍去.又有f(-1)=-5,f(2)=-14,f(3)=11.
所以,区间[-1,3]上函数f(×)的最大值为f(3)=11,最小值为f(2)=-14.
6.求函数在区间[0,3]上的最大值和最小值.
解,令f′(×)=0,无解.当×=2时f′(×)不存在.又有,f(2)=1,f(3)=0.
所以,区间[0,3]上函数f(×)的最大值为f(2)=1,最小值为.
7.将边长为A的一块正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做一个无盖的方格.问截掉的小正方形边长多长时,所得方盒的容积最大?最大容积为多少?
解 设截掉的小正方形边长为×,则所得方盒的容积f(×)=×(A-2×)2,从而
f′(×)=(A-2×)(A-6×)令f′(×)=0,解得(舍去),.
根据问题的实际意义,方盒的最大容积一定存在,而驻点唯一,故截掉的小正方形边长为时方盒的容积最大.又,故最大容积为.
8.欲在墙边围一面积为S=8m2的长方形空地.问它的长与宽应分别为多少米时,才能使所用材料的总长度最少?最少长度为多少?
解 设长方形空地的长为×,则宽为,故总长度,从而f′(×)=,令f′(×)=0,解得×1=-4(舍去),×2=4.根据问题的实际意义,所用材料的总长度最少一定存在,而驻点唯一,故所用材料的长为4,宽为2时所用材料的总长度最少,又f(4)=8,故最少长度为8.
9.设f(×)在U(0,δ)内连续,且f(0)=0,,则( ).
A.f′(0)不存在 B.∃f′(0)≠0
C.在×=0处取极小值 D.在×=0处取极大值
解 答案应为C.
先研究函数在×=0处的可导性.由,可得,
因此有,即有.又因为,故可得,而f(0)=0,所以.因而f(×)可导,且f′(0)=0,因而选项A和B都不对.(www.daowen.com)
再研究函数在×=0处的极值性.由和函数极限的局部保号性知,存在δ>0,当×∈(0,δ)时,有,即有当(0,δ)时,f(×)>0=f(0),因此f(×)在×=0处取极小值.正确答案为C.
10.设f(θ)=θSIN θ+(A+1)CoS θ(A≠1),问
(1)θ=0是否为极值点?
(2)若是,是极大还是极小?
解f′(θ)=θCoS θ-ASIN θ,f″(θ)=(1-A)CoS θ-θSIN θ.
由于f′(0)=0,f″(0)=1-A≠0,故θ=0为极值点;且当A>1时是极大值点,当A<1时是极小值点.
11.求数列的最小项.
解 设,则
由于当1≤×<2e时,当×>2e时,而当×≥1时总有0,从而当1≤×<2e时f′(×)<0,当×>2e时从而f′(×)>0,故数列的最小项为.
12.试证:当0<×<2时,4×lN ×-×2-2×+4>0.
证 设f(×)=4×lN ×-×2-2×+4,则f′(×)=4lN ×-2×+2,,且当0<×<2总时f″(×)>0,故f′(×)在0<×<2上单调递增.又因为-∞,f′(2)=4lN 2-2=lN,故由连续函数的介值定理和单调性知存在唯一一点ξ∈(0,2),使得f′(ξ)=0.即在(0,ξ)上f′(×)<0,在(ξ,2)上f′(×)>0,从而f(×)在点×=ξ处取到最小值.故当0<×<2时f(×)>f(ξ),而
f(ξ)=4ξlN ξ-ξ2-2ξ+4=ξf′(ξ)+(ξ-2)2>0
因此当0<×<2时,f(×)=4×lN ×-×2-2×+4>0.
13.某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月180美元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加10美元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费20美元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?
解 设×为增加租金除以10,设
f(×)=(180+10×)(50-×)-20(50-×)=(160+10×)(50-×)则
f′(×)=10(50-×)-(160+10×)=340-20×令f′(×)=0,得×=17,且f″(×)=-20<0,故当增加的租金为10×=170美元,即房租定为170+180=350美元时可获得最大收入.
14.求A的取值范围,使函数f(×)=×3+3A×2-A×-1无极值.
解f′(×)=3×2+6A×-A
当Δ=36A2+12A<0,即时,f(×)无驻点,即f(×)无极值.
当Δ=36A2+12A=0,即或A=0时,或f′(×)=3×2,f(×)有一个驻点或×=0.但此时所对应的函数分别为
可知此时f(×)无极值.
当Δ=36A2+12A>0,即或A>0时,f(×)有两个驻点
又f″(×)=6×+6A,,可知f(×)的两个驻点为
èø极值点.
所以当时,函数f(×)无极值.15.讨论方程lN ×=A×(其中A>0)有几个实根.
解 设f(×)=lN ×-A×,×∈(0,+∞),则f.令f′(×)=0,有故当时有f′(×)<0,从而f(×)在内单调递减;当0<×<时有f′(×)>0,从而f(×)在单调递增,故=-lN A-1为最大值.
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