理论教育 微积分典型例题与解法-习题解答

微积分典型例题与解法-习题解答

时间:2023-10-23 理论教育 版权反馈
【摘要】:1.设y=6×3+3×2+×+5,求y,y.解y==(6×3)=6·3·2·1=36,y=0.2.设f(×)=×e×2,求f″(×).解f′(×)=e×2+×·e×2·2×=e×2f″(×)=[e×2]′=e×2·2×+e×2·4×=2×e×23.求下列函数的N阶导数.y=SIN A× y=eB× y=lN(1+×)解 y′=BeB×,y″=B2 eB×,…

微积分典型例题与解法-习题解答

1.设=6×3+3×2+×+5,求y‴(4)

y‴=(6×3+3×2+×+5)=(6×3=6·3·2·1=36,(4)=0

2.设f×)=×e×2,求f″×

f′×)=e×2+×·e×2·2×=e×2(1+2×2f″×)=[e×2(1+2×2)]=e×2·2×(1+2×2)+e×2·4×=2×e×2(2×2+3)

3.求下列函数的N导数

(1)=SIN (2)=e (3)=lN(1+×

(1)978-7-111-41532-9-Chapter02-235.jpg

(2)y′Bey″B2 e,…,N)=BN e

(3)978-7-111-41532-9-Chapter02-237.jpg978-7-111-41532-9-Chapter02-238.jpg978-7-111-41532-9-Chapter02-239.jpg,…,978-7-111-41532-9-Chapter02-240.jpg

4.设函数×)是由方程e+×y=e确定,求y′(0),y″(0)

方程两边对×求导数,有ey′++×y′=0,从而978-7-111-41532-9-Chapter02-241.jpg,因此978-7-111-41532-9-Chapter02-242.jpg978-7-111-41532-9-Chapter02-243.jpg两端对×求导数,有

从而978-7-111-41532-9-Chapter02-245.jpg

5.设978-7-111-41532-9-Chapter02-246.jpg,且f″)≠0,求978-7-111-41532-9-Chapter02-247.jpg

978-7-111-41532-9-Chapter02-248.jpg

6.若=e f×),求y″;又若×2 lN×,求y″.

=e f×),则y′=e f×)·f′×),从而y″=e f×)·[f′×)]2+e f×f″×

×2 lN×,则y′=2×·lN×+×,则y″=2lN×+2+1=2lN×+3

7.设f×)=SIN ×+CoS ×,求f(27)(π)的值

978-7-111-41532-9-Chapter02-250.jpg(www.daowen.com)

8.设×lNf(-×),f×)二阶可导,求y″.

978-7-111-41532-9-Chapter02-252.jpg,因此

9.设f×)=×e-×,求fN)(×

f′×)=e-×-×e-×

f″×)=-e-×-(e-×-×e-×)=-2e-×+×e-×

f‴×)=2e-×+e-×-×e-×=3e-×-×e-×

fN)(×)=(-1)N-1 e-×N+(-1)N×e-×=(-1)N-1 e-×N-×

10.设978-7-111-41532-9-Chapter02-254.jpg,求fN)(×

易得978-7-111-41532-9-Chapter02-255.jpg

978-7-111-41532-9-Chapter02-257.jpg

11.设978-7-111-41532-9-Chapter02-258.jpg,求N)(2≤N

978-7-111-41532-9-Chapter02-259.jpg978-7-111-41532-9-Chapter02-260.jpg,故

12.设978-7-111-41532-9-Chapter02-262.jpg所确定,求978-7-111-41532-9-Chapter02-263.jpg

978-7-111-41532-9-Chapter02-264.jpg ,因此978-7-111-41532-9-Chapter02-265.jpg,从而978-7-111-41532-9-Chapter02-266.jpg

13.试从978-7-111-41532-9-Chapter02-268.jpg导出:(1)978-7-111-41532-9-Chapter02-269.jpg;(2)978-7-111-41532-9-Chapter02-270.jpg‴.

(1)978-7-111-41532-9-Chapter02-271.jpg

(2)978-7-111-41532-9-Chapter02-272.jpg

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