微积分习题1.6:×时的无穷小与解法

1.直观判断下列变量，当×→？时是无穷小；当×→？时是无穷大：（1）　（2）ｙ＝ｌN（1+×）

解 （1）当×→0时，是无穷小；当×→1时，是无穷大.

（2）当×→0时，ｙ＝ｌN（1+×）是无穷小；当×→-1和×→+∞时，ｙ＝ｌN（1+×）是无穷大.

2.当×→0时，将下列无穷小与无穷小×进行阶的比较.

（1）ｔAN ×-SIN × （2） （3） （4）ｌN（1+2×）

解 （1）

所以当×→0时，ｔAN ×-SIN ×是×的高阶无穷小.

（2），所以当×→0时，是×的低阶无穷小.

（3）

所以当×→0时，是×的同阶无穷小.

（4），所以当×→0时，ｌN（1+2×）是×的同阶无穷小.

3.证明：当×→0时，e^×-1与×是等价无穷小.证 令ｙ＝e^×-1，则×＝ｌN（1+ｙ），从而有

故当×→0时，e^×-1与×是等价无穷小.

4.用等价无穷小代换求极限.

（1） （2）

（3）

解 （1）

（2）

（3）

5.下列等式成立的有（ ）.

A. B.

C. D.

解 正确答案是D.

选项A不能用等价无穷小代换，故，而由于极限与m，N的取值有关，可能为±1，从而极限可能为，故A不正确.

由等价无穷小代换知

因此B和C也不正确.

而

故选项D是正确的 .(https://www.daowen.com)

6. 当×→0时，与×为等价无穷小量的是（ ）.

A. B. C. D.

解 正确答案是C.

因为由等价无穷小代换知

不存在，故正确答案是C.

7.设当×→0时，（1-CoS ×）ｌN（1+ײ）是比×SIN ×^N高阶的无穷小，而×SIN ×^N是比e^×2_-1高阶的无穷小，则正整数N等于（）.

A.0 B.1 C.2 D.3

解 正确答案是C.

由（1-CoS ×）ｌN（1+ײ）是比×SIN ×^N高阶的无穷小知

从而知N＜3；

由×SIN ×^N是比e^×2-1高阶的无穷小知

从而知N＞1.故正整数N等于2.

8.求极限

解

9.若，求.

解

10.求极限.

解 由于×→0时，，故

11.当×→0时，与×等价的无穷小量是（ ）.

A． B. C. D.

解 由于

故当×→0时，与×等价的无穷小量是D：×-4ײ+5׳.

12.已知，求.

解 由于且，故

从而，故，所以有

再由得，.