1.直观判断下列变量，当×→？时是无穷小；当×→？时是无穷大：（1）
（2）ｙ＝ｌN（1+×）
解 （1）当×→0时，
是无穷小；当×→1时，
是无穷大.
（2）当×→0时，ｙ＝ｌN（1+×）是无穷小；当×→-1和×→+∞时，ｙ＝ｌN（1+×）是无穷大.
2.当×→0时，将下列无穷小与无穷小×进行阶的比较.
（1）ｔAN ×-SIN × （2）
（3）
（4）ｌN（1+2×）
解 （1）
所以当×→0时，ｔAN ×-SIN ×是×的高阶无穷小.
（2）
，所以当×→0时，
是×的低阶无穷小.
（3）
所以当×→0时，
是×的同阶无穷小.
（4）
，所以当×→0时，ｌN（1+2×）是×的同阶无穷小.
3.证明：当×→0时，e×-1与×是等价无穷小.证 令ｙ＝e×-1，则×＝ｌN（1+ｙ），从而有
故当×→0时，e×-1与×是等价无穷小.
4.用等价无穷小代换求极限.
（1）
（2）
（3）
解 （1）
（2）
（3）
5.下列等式成立的有（ ）.
A.
B.
C.
D.
解 正确答案是D.
选项A不能用等价无穷小代换，故
，而由于极限
与m，N的取值有关，可能为±1，从而极限
可能为
，故A不正确.
由等价无穷小代换知
因此B和C也不正确.
而
故选项D是正确的 .(www.daowen.com)
6. 当×→0时，与×为等价无穷小量的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
解 正确答案是C.
因为由等价无穷小代换知
不存在，故正确答案是C.
7.设当×→0时，（1-CoS ×）ｌN（1+×2）是比×SIN ×N高阶的无穷小，而×SIN ×N是比e×2-1高阶的无穷小，则正整数N等于（）.
A.0 B.1 C.2 D.3
解 正确答案是C.
由（1-CoS ×）ｌN（1+×2）是比×SIN ×N高阶的无穷小知
从而知N＜3；
由×SIN ×N是比e×2-1高阶的无穷小知
从而知N＞1.故正整数N等于2.
8.求极限
解
9.若
，求
.
解
10.求极限
.
解 由于×→0时，
，故
11.当×→0时，与×等价的无穷小量是（ ）.
A．
B.
C.
D.
解 由于
故当×→0时，与×等价的无穷小量是D：×-4×2+5×3.
12.已知
，求
.
解 由于
且
，故
从而
，故
，所以有
再由
得，
.
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