1.求极限.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解 （1）
（2）
（3）令ｔ＝AｒCｔAN ×，则
（4）
＝1
（5）
2.求极限.
（1）
（2）
（3）
（4）
解 （1）
（2）
（3）
（4）
3.设0＜×1＜1，N＝1，2，…，×N+1＝2×N-×2N，证明数列｛×N｝的极限存在，并求其极限.
证 由×N+1＝2×N-×2N可知，×2＝2×1-×21＝1-（1-×1）2，从而0＜×2＜1，由数学归纳法可知0＜×N＜1，即数列｛×N｝有界.
由×N+1＝2×N-×2N可知，×N+1＝×N（2-×N），再由0＜×1＜1得
×2＝×1（2-×1）＞×1由归纳法可知，数列｛×N｝是单调递增数列.由单调有界原理知，数列｛×N｝极限存在.由于数列｛×N｝极限存在，不妨设
，故对等式×N+1＝2×N-×2N取极限，得A＝2A-A2，得A＝0，1，再由数列的递增性可知A＞×1＞0，从而得A＝1.
4.下列极限中正确的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
解 正确答案是B.因为由第一个重要极限
可知，
.
5.设
，求f（×）.
解
所以f（×）＝e×+1.
6. 若
，求A.
解
又由于
，即e3A＝8，故A＝ｌN 2.
7.求极限
.
解
＝1
8.求极限
.(www.daowen.com)
解 令ｕ（×）＝CoS ×+SIN2×，ｖ
，则
故
.
9.证明
存在，并求其值.
解 由于
故
即
故由夹逼原理知
.
10.求极限
.
解
11.求极限
).
解
-0＝1
12.求极限
.
解
13.极限
存在吗？
解
由于
，
，故
不存在，因此极限
不存在.
14.设×1＞0，
，N＝1，2，…，A＞0，证：
存在并求值.
证 显然
，N＝1，2，…，即×2N+1≥A，N＝1，2，…，从而
，N＝2，3，…，因此数列｛×N｝是单调递减有下界0的数列，故
存在.
不妨设
，则由关系式
，得
，从而得到
A.
15.求极限
.
解
16.求极限
.
解
，又因为
故
因此
不存在.
17.求极限
.
解 令ｕ（×）＝1+e× SIN2×，
，则
因此
.
18.证明：
.
证 由于
，故
.又由于
故
.
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