理论教育 微积分中的函数和数列极限基本概念

微积分中的函数和数列极限基本概念

时间:2023-10-23 理论教育 版权反馈
【摘要】:1.函数设D是非空数集,若对D中任意数×,按照某一确定的对应法则f,总有唯一确定的数y∈R与之对应,则称f是定义在D上的函数,记作y=f(×).2.数列的极限,N,当N>N时,有×N-A<ε.数列极限的性质:唯一性、有界性、保号性.若数列{×N}收敛,则它只有一个极限.若数列{×N}收敛,则它一定有界,即存在m>0,对任意的N都有×N≤m.若,则存在N,当N>N时,有×N>0(×N<0).3.函数

微积分中的函数和数列极限基本概念

1.函数

D是非空数集,若对D中任意数×,按照某一确定的对应法则f,总有唯一确定的数与之对应,则称f是定义在D上的函数,记作f×).

2.数列的极限978-7-111-41532-9-Chapter01-3.jpg,∃N,当NN时,有×N-A<ε.

数列极限的性质:唯一性、有界性、保号性.

若数列{×N}收敛,则它只有一个极限.

若数列{×N}收敛,则它一定有界,即存在m>0,对任意的N都有×Nm.若978-7-111-41532-9-Chapter01-4.jpg,则存在N,当NN时,有×N>0(×N<0).

3.函数的极限978-7-111-41532-9-Chapter01-5.jpg,∃δ>0,当0<×-×0δ时,有f×-Aε.978-7-111-41532-9-Chapter01-6.jpg,∃×>0,当×>×时,有f×-A<ε.978-7-111-41532-9-Chapter01-7.jpg.函数极限的性质:唯一性、局部有界性、局部保号性 .若978-7-111-41532-9-Chapter01-8.jpg存在,则此极限是唯一的 .若978-7-111-41532-9-Chapter01-9.jpg存在,则f×)在×0的某去心邻域内有界 .若978-7-111-41532-9-Chapter01-10.jpg,则存在δ>0,当0<×-×0<δ时,有f×0(f×0).若978-7-111-41532-9-Chapter01-11.jpgf×)≥0(f×)≤0),则A≥0(A≤0).0

4.极限运算法则

极限的四则运算法则:在某一变化过程中,lImf×)与lImg×)都存在,则

(1)lIm[f×)±g×)]=lImf×)±lImg×);

(2)lIm[f×g×)]=lImf×)lImg×);(3)若lImg×)≠0,有978-7-111-41532-9-Chapter01-12.jpg.复合函数的极限运算法则:设978-7-111-41532-9-Chapter01-13.jpg,且当0<×-×0δ时,g×)≠A,则

5.两个重要极限978-7-111-41532-9-Chapter01-15.jpg,适用类型:“978-7-111-41532-9-Chapter01-16.jpg”型极限;三角函数.

978-7-111-41532-9-Chapter01-18.jpg,适用类型:“1∞”型极限;幂指函数.

夹逼准则:若在某一变化过程中,函数f×),g×),×)总有关系g×)≤f×)≤×),且lImg×)=lIm×)=A,则lImf×)=A.

单调有界准则:单调有界数列必有极限,即若数列{×N}是单调有界的,则978-7-111-41532-9-Chapter01-19.jpg一定存在.

6.无穷小与无穷大978-7-111-41532-9-Chapter01-20.jpg,则称f×)是当××0时的无穷小.

无穷小的性质:在某一变化过程中,有限个无穷小的和仍是无穷小;有限个无穷小的乘积仍是无穷小;有界变量与无穷小量之积仍是无穷小量.

无穷小与无穷大的关系:在某一变化过程中(www.daowen.com)

(1)若f×)是无穷大量,则978-7-111-41532-9-Chapter01-21.jpg是无穷小量;

(2)若f×)(≠0)是无穷小量,则978-7-111-41532-9-Chapter01-22.jpg是无穷大量.几个重要的等价无穷小:当×→0时,SIN ××,tAN ××,ArCSIN ××,ArCtAN ××,lN(1+×)~×978-7-111-41532-9-Chapter01-23.jpg,e×-1~×A×-1~×lN A,(1+×α-1~α×.在自变量的某种趋势下,若αα′ββ′,则978-7-111-41532-9-Chapter01-24.jpg,lImαf=lImα′f;当978-7-111-41532-9-Chapter01-25.jpg时,lIm(α-βf=lIm(α′-β′f.

7.函数的连续

978-7-111-41532-9-Chapter01-26.jpg,则称函数f×)在点×0处连续.

利用初等函数的连续性求函数的极限是求极限的最基本的方法,即:若f×)是初等函数,×0是其定义区间内的点,则978-7-111-41532-9-Chapter01-27.jpg.

判断函数间断点的步骤:①考查f×)在×=×0点处是否有定义,若无定义,则×=×0f×)的间断点;②若f×0)存在,再考察978-7-111-41532-9-Chapter01-28.jpg是否存在,若978-7-111-41532-9-Chapter01-29.jpg不存在,则×=×0f×)的间断点;③若978-7-111-41532-9-Chapter01-30.jpg存在,再考察978-7-111-41532-9-Chapter01-31.jpg是否等于f×0),若不相等,则×=×0f×)的间断点.

若函数f×)在闭区间[AB]上连续,则:①f×)在[AB]上有界;②f×)在[AB]上取到最大值和最小值(最值定理);③若fA)·fB)<0,则存在ξ∈(AB),使得fξ)=0(零点定理);④当fA)≠fB)时,对介于fA)和fB)之间的任一实数C,必存在ξ∈[AB],使得fξ)=C(介值定理).

上述三个定理常可用于:证明某些等式和不等式;判定某些方程的根的存在性和根的范围.

8.求极限的一般方法

(1)利用极限的四则运算法则及复合函数的运算法则;

(2)利用无穷小的运算法则;利用无穷小与无穷大的关系;

(3)利用两个重要极限;

(4)利用夹逼定理,利用单调有界准则及解方程

(5)利用等价无穷小代换;

(6)利用合并或分项、因式分解、约分、变量代换、取对数等技巧;

(7)单边极限判敛法:978-7-111-41532-9-Chapter01-32.jpg.

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