本书的第三章也围绕连续统假设展开，但只是将其作为一则集合论公式，在有穷主义的框架下进行审视。本节中，我们将站在实在论者的立场上，试图在真实的集合论宇宙中寻找答案。

连续统假设（CH）从康托尔建立集合论伊始就被提出，希尔伯特将其列为第一问题。哥德尔与科恩先后给出的证明表明，连续统假设是独立于集合论公理系统ZFC的，这在一定程度上解释了为何连续统假设得到如此重视却一直无法被解决。一些数学家，如科恩本人宣称独立性结果已经是连续统假设问题能够获得的最终解决方案，即不可能期望得到明确的是或非的答案。另一些，如哥德尔则坚持，“证明了康托尔猜想不可由公认的集合论公理判定，绝不意味着解决了这个问题”，并且相信“能够以确定的方式补充新的公理”来判定连续统假设的真假。这就是所谓的哥德尔纲领。

哥德尔的CH相对一致性结果同时表明CH是V=L的推论。但哥德尔以及多数作为实在论者的集合论学家认为V=L表达了集合论宇宙的某种“极小性”，因而是错的。哥德尔寄希望于表达某种“极大性”的大基数公理来解决连续统假设问题。当然，他也意识到，“对解决连续统问题来说，基于玛诺原则^[18]的那些无穷公理基本是没希望的”。因为，哥德尔本人基于内模型对连续统假设一致性的证明完全不受不可达基数或玛诺基数是否存在的影响。而斯科特的结果（定理4.17）表明存在可测基数会导致V/=L。这让哥德尔相信，一些“基于不同原则”的大基数公理或许可以判定连续统的基数。

我们在4.1节中看到，大基数公理的确可以判定许多自然的独立问题，甚至可以固定二阶算术，使之成为实际完备的理论。特别地，大基数公理可以证明所有可定义的实数集都具有完美集性质。也就是说，不存在可定义的实数集见证¬CH（其基数严格介于可数与连续统基数之间）。

然而，连续统假设问题是三阶算术的问题。令H（ω2）是遗传地≤ℵ1的集合族，即其中每个元素的传递闭包的基数都≤ℵ1。连续统假设是否成立只需要看结构H（ω2）就可以了。如果CH成立，即存在双射f：ω1→P（ω），那么f∈H（ω2）；反之，若在H（ω2）中没有这样的双射，那么在V中也没有。而H（ω2）的理论可翻译到Vω+2的理论中。例如，可以定义Vω+2中的“第一个不可数基数ℵ1”为“最小的实数集P（ω）上的良序关系R，使得不存在ω上的良序关系与之同构”。因此，连续统假设问题也可以在Vω+2中表达，而Vω+2的理论一般被称为三阶算术。值得注意的是，如果CH成立，那么Vω+2⊂H（ω2），显然，Vω+2的理论也可以被翻译到H（ω2）的理论中；而如果CH不成立，那么H（ω2）的理论就不如Vω+2的丰富了（如图4.4所示）。

根据爱瑟瑞尔·莱维（Lévy，Azriel）和索罗维的观察（Levy and Solovay，1967），二阶算术中有丰富成果的大基数公理在连续统假设问题上则无能为力。

在3.3节中，我们介绍了如何利用有穷部分函数Fn（ℵ2×ω，2）来力迫¬CH。类似地，考虑

及其上的子集关系偏序，那么，在由P生成的脱殊扩张中，不会被添加新的实数（自然数子集）并且2ℵ0被坍塌为ℵ1。如果κ是大基数，κ至少是不可达基数，那么无论（4.1）中力迫CH成立的偏序P还是力迫¬CH成立的偏序Fn（ℵ2×ω，2）的基数都＜κ。

图4.4　三阶算术与H（ω2）

定理　4.36（莱维-索罗维）　假设κ是大基数，偏序P的基数＜κ，那么κ在由P生成的脱殊扩张V[G]中，κ仍然具有原来的大基数性质。

莱维-索罗维定理证明概述

假设j：V→M是见证κ大基数性质的初等嵌入，crit（j）=κ，G是V上的P脱殊滤子，V[G]是脱殊扩张。

由于j在Vκ上是等同映射，card P＜κ（因而不妨假设P∈H（κ）=Vκ），因此j（P）=P∈M，且对任意p∈P，j（p）=p，因而G也是M上的P脱殊滤子。令M[G]是相应的脱殊扩张。定义函数j*：V[G]→M[G]为

j*(˙xG)=(j(˙x))G，

根据j是初等嵌入，j（˙x）是M[G]中的P-名称。容易证明，j*：V[G]→M[G]是初等嵌入，且j*↾V=j。因此，κ仍然是j*的关键点。j的其他性质也往往可以由j*在V[G]中实现。

武丁在（Woodin，1999）中定义了Ω-逻辑（Ω-logic），试图更严格地刻画集合论在一阶算术和二阶算术上取得的“成功”，并且为将这种成功复制到三阶算术提供明确的目标。

定义　4.37（Ω-逻辑语义）　令T是集合论语言的理论，φ是一则集合论命题。定义TΩφ当且仅当对任意力迫偏序P、任意序数α有：若则

命题φ是Ω-可满足的，当且仅当存在α，存在力迫偏序P，使得理论T对命题类Γ是Ω-完备的，当且仅当对任意φ∈Γ，要么TΩφ，要么TΩ¬φ。

ZFC是被公认的集合论公理系统，它在一阶算术上的推论{φ|ZFC⊢}都是Ω-可满足的，并且ZFC对一阶算术（即形如的命题类）是Ω-完备的。而根据定理4.34，（ZFC+存在任意大武丁基数）对二阶算术是Ω-完备的。而莱维和索罗维的观察表明，ZFC加任何已知且一致的大基数公理都无法对三阶算术做到Ω-完备。接下来的任务似乎就是寻找大基数以外的公理以期获得对三阶算术（或部分三阶算术）Ω-完备的理论。

值得一提的是，武丁在1985年的结果表明，假设（ZFC+存在任意大的可测的武丁基数），那么ZFC+CH是对命题Ω-完备的。也就是说，连续统假设可能确实是三阶算术中具有代表性的问题。直接将CH作为公理，就可以得到对-完备的理论。这可以视作对CH来自外在性辩护的有利证据，但显然尚不足以令人断定CH成立。事实上，¬CH也可以获得类似的外在性辩护。

相对于定义4.37中给出的Ω-逻辑的“逻辑蕴涵”概念Ω，武丁也试图给出Ω-逻辑的证明概念⊢Ω。在一阶逻辑的语法中，一个证明可以被一个自然数编码；而Ω-逻辑的证明则是被一个普贝尔集（universally Baire set）见证。武丁证明了Ω-逻辑的可靠性，即T⊢Ωφ蕴涵TΩφ。Ω-猜想（Ω-conjecture）则被定义为

定理　4.38（武丁）　假设存在真类那么多武丁基数并且强Ω猜想成立^[19]，那么：

（1）存在公理候选σ，使得

（a）ZFC+σ是Ω-可满足的，并且

（b）ZFC+σ对结构H（ω2）是Ω-完备的；

（2）对任意满足（1）的公理候选σ都有

ZFC+σΩ¬CH。

也就是说，假设一定的大基数公理和强Ω猜想，那么就存在一些公理候选，它们能获得足够强的外在性辩护。而任何能够获得这些外在性辩护的公理候选都蕴涵¬CH。在这个意义上，¬CH本身也获得了外在性辩护。

作为实在论者追求Ω-完备的理论是为了获得外在性辩护，同时也是对于一种被称作脱殊多宇宙观的集合论真理观的妥协。持这种真理观的集合论学家，往往接受ZF，ZFC甚至大基数公理，并且认为一则集合论命题是有意义的，当且仅当它在某个脱殊复宇宙（generic multiverse）中的所有集合论宇宙上都成立或都不成立。

定义　4.39（脱殊复宇宙）　给定集合论模型M。定义由M生成的脱殊复宇宙VM为包含M且在集合力迫的脱殊扩张及其逆关系下封闭的最小模型类。

例如，无论M=N[G]或M[G]=N，都有N∈VM。

ZFC对一阶算术的Ω-完备性也可以用脱殊复宇宙来表示：令VM是由ZFC模型M生成的脱殊复宇宙，那么任何一阶算术命题要么在VM里的每个模型上都成立，要么在VM里的每个模型上都不成立。我们可以称一阶算术在由ZFC模型生成的脱殊复宇宙中是被决定的。一个由（ZFC+存在任意大武丁基数）的模型生成的脱殊复宇宙中的每个模型均满足（ZFC+存在任意大武丁基数），由此可以证明：二阶算术在由（ZFC+存在任意大武丁基数）模型生成的脱殊复宇宙中是被决定的。脱殊多宇宙观的追随者往往会认为，连续统假设在脱殊复宇宙中不是被决定的，因而不是有意义的数学命题。而上述工作则可以被视为试图寻找集合论公理系统T，使得三阶算术（或部分至少包括连续统假设的三阶算术）在由T生成的脱殊复宇宙中是被决定的。

然而，更进一步的研究表明，脱殊多宇宙真理观与上述努力中遇到的核心猜想——Ω-猜想是不兼容的。

定理　4.40（武丁）　假设存在任意大的武丁基数并且Ω-猜想成立，那么Π2的多宇宙真可以图灵归约为集合论宇宙前段的多宇宙真。

其中，δ0是最小的武丁基数。这表明，“当限制于考虑Π2的脱殊复宇宙真时，复宇宙就等价于仅仅由集合论宇宙的前段构成的缩减版的复宇宙了”，这“相当于否认了之上的超穷”（Woodin，2011b）。类似地，还可以证明：

定理　4.41（武丁）假设存在任意大的武丁基数并且Ω-猜想成立，那么Π2的多宇宙真在中可定义。

根据塔斯基真不可定义定理，整个集合论宇宙的真不能在集合论宇宙的一个前段中被定义。而如果期望实在论与脱殊多宇宙观兼容，即希望脱殊多宇宙的真就是那个集合论宇宙的真，那么就有理由要求脱殊多宇宙的真不能在某个集合论宇宙的前段被定义。而上述两则定理表明，假设Ω-猜想成立，脱殊多宇宙观与实在论是不兼容的。

基于不同立场的学者对上述结果会有不同的解读。可以认为，上述定理表明Ω-猜想很可能是错的。也可以基于Ω-猜想认为脱殊多宇宙观提供了一个过于受限的真理观。武丁本人持第二种观点。在试图理解Ω-猜想如何可能被证否的过程中，武丁的注意力转移到了内模型计划：

对内模型结构相当一般的要求就蕴涵了，Ω-猜想必须在内模型中成立，此外最新的一些结果提示，如果该计划能够在超紧致基数层面取得成功，那么就没有大基数假设会证否Ω-猜想。（Woodin，2011a）

武丁提到的结果可以被表述如下：

定理　4.42（武丁）　假设N是超紧致基数δ的弱延展系统模型（weak extender model），并且γ＞δ是N中的基数。假设

j:(H(γ+))N→(H(j(γ)+))N

是初等嵌入且crit（j）≥δ，那么j∈N。

其中，超紧致基数的弱延展系统模型的定义可以看作是对超紧致基数的内模型的“相当一般的要求”。

弱延展系统模型

可测基数κ可以被一个κ上的超滤子见证，强基数则可以被一系列延展系统见证。这是构造可测基数或强基数内模型的关键。类似地，超紧致基数性质也可以由一系列超滤子来见证。

引理　4.43　对任意基数κ，以下等价：

（1）κ是超紧致基数；

（2）对任意λ＞κ，存在Pκ（λ）上的κ-完全正规精细超滤子。

其中，Pκ（λ）指所有λ的基数为κ的子集组成的集合。我们称Pκ（λ）上的滤子F是精细的（fine），当且仅当对任意α∈λ，有　

我们称F是正规的（normal），当且仅当对任意函数f：Pκ（λ）→λ，如果{σ∈Pκ（λ）|f（σ）∈σ}∈F，那么存在α∈λ使得{σ∈Pκ（λ）|f（σ）=α}∈F。

定义　4.44（弱延展系统模型）　称传递类NZFC是超紧致基数δ的弱延展系统模型，当且仅当对任意γ＞δ存在Pδ（γ）上的δ-完全的正规精细超滤子U满足：

（1）N∩Pδ（γ）∈U，以及

(2)U∩N∈N。

内模型N是弱延展系统模型的定义可以大致理解为断言N具有很强的封闭性，即包含所有见证V中超紧致基数在N中也是超紧致基数的超滤子。利用超幂构造（由超滤子引出初等嵌入）、反射论证和一些计算就可以由弱延展系统模型关于一些超滤子的封闭性得到定理4.42，即关于一些初等嵌入的封闭性。

武丁定理证明概述

我们首先陈述一则证明定理4.42的关键引理。(www.daowen.com)

引理4.45假设N是超紧致基数δ的弱延展系统模型。那么对任意λ＞δ，任意a∈Vλ都存在和以及初等嵌入

使得

（1）crit（π）=，=δ并且=a；

(2)=N∩Vλ；

(3)∈N。

其中，该引理的证明思路与马吉多在（Magidor，1971）给出的超紧致基数的另一种等价刻画的证明类似。

定理　4.46（马吉多）　假设δ是正则基数，那么下列命题等价：

（1）δ是超紧致基数；

（2）对任意λ＞δ，存在，以及初等嵌入

使得crit（π）=~δ并且π（~δ）=δ。

要证明（2）⇒（1），我们可以利用初等嵌入π：→Vλ+3定义一个在中的上的正规精细超滤子~U，并证明就是一个Pδ（γ）上的正规精细超滤子，并见证δ是+γ-超紧致基数。

引理4.45的证明与马吉多定理（1）⇒（2）的证明使用相似的反射论证。要证明后者：给定λ，取足够大的γ，使得γ=|Vλ+1|。令j：V→M见证δ是+γ-超紧致基数，那么Mγ⊂M，因而j↾Vλ+1∈M。由此，j↾Vλ+1：Vλ+1→Vj（λ）+1就在M中见证了：存在δ＜λ＜j（δ）满足（2）中的要求。利用初等嵌入j将这个事实反射回V中就得到：存在满足（2）中的要求（参见图4.5）。

图4.5　马吉多定理（1）⇒（2）

利用弱延展系统模型的封闭性，经过一些计算可以得到引理4.45的（2）和（3）。

要证明定理4.42，取足够大的λ＞j（γ），使得λ=|Vλ|，那么j∈Vλ。根据引理4.45，令j作为其中的a，得到以及初等嵌入π：→Vλ+1。注意，并且∈N。接下来，只需要证明~j∈N，即在N中把定义出来，就完成证明了。

定理　4.42　表明，如果N是超紧致基数的弱延展系统模型，那么“任何在V中存在的大基数的内模型都应该包含在N中，而如果N本身就是L的扩张【即满足对内模型精致结构的要求】，那么这些大基数假设应该都在N中成立”。（Woodin，2016，p.10）例如，作为定理4.42的推论，可以证明：

推论4.47假设N是超紧致基数δ的弱延展系统模型。假设对任意n＜ω，存在任意大的n-巨基数，那么在N中，对任意n＜ω，存在任意大的n-巨基数。

n-巨基数

任给非平凡初等嵌入j：V→M以及κ=crit（j），定义序列κ0=κ，κn+1=j（κn）。

定义　4.48　给定n＜ω。称基数κ是n-巨基数（nhuge cardinal），当且仅当存在初等嵌入j：V→M使得crit（j）=κ并且Mκn⊂M。

显然，0-巨基数就是可测基数。1-巨基数又称作巨基数，是比超紧致基数更强的大基数性质。可以推广上述定义得到ω-巨基数（令κω为supn＜ωκn，并要求Mκω⊂M）。库能关于莱因哈特基数不一致的证明也同样证明了不存在ω-巨基数。

内模型计划（inner model program）可追溯自斯科特的定理4.17。可构成集类有许多良好的性质。例如，L作为内模型是绝对的，因而它的理论是力迫不变的；L中的实数集上存在可定义的（实际上是的）良序；L具有凝聚性（condensation）；L满足强的覆盖性质（covering property）。但是，斯科特的定理表明L中无法容纳大基数。内模型计划即为越来越强的大基数寻找可以容纳它们的类似L的（L-like）内模型，也即具有类似良好性质的内模型。

L的良好性质

引理　4.49（哥德尔凝聚性引理）　如果X是一个传递集，并且存在序数α使得（X，∈）是（Lα，∈）的初等子模型，那么存在β≤α使得X=Lβ。

广义连续统假设在L中成立，是可构成集类具有凝聚性的推论。一个内模型满足一定形式的凝聚性是保证广义连续统假设在其中成立核心性质。大基数内模型L[U]或L[→E]满足类似的凝聚性，GCH在其中成立。

引理　4.50（延森覆盖引理）　假设0♯不存在，那么对任意集合x⊂ON，存在一个可构成集覆盖y∈L使得x⊂y并且card y≤（card x+ℵ1）。

0♯可以被理解为一个实数，它编码了构造非平凡初等嵌入j：L→L的信息，因此，0♯存在也可以被理解为一个大基数性质。所以，覆盖引理可以理解为：如果不存在大基数，那么L就与V很接近。一个内模型满足一定形式的覆盖性质可以被理解为它在某种意义上是不具有某些更强大基数性质的极大的模型，这种内模型往往通过取一系列内模型的极限来获得并被称作核心模型（core model）。覆盖性质作为一种反大基数原则可以用来证明某些命题与某个大基数性质是等一致的，从而可以将更多独立性命题的证明论强度嵌入大基数序列的线性结构，强化大基数层谱作为ZFC典范扩张的地位。能够构造包含某种大基数的满足覆盖性质的内模型相当于为该大基数假设的正当性提供了很强的证据。

构造容纳一个可测基数的内模型并不困难。由于可测基数κ被其上的一个κ-完全非主超滤子U所见证，只需要在可构成集层谱构造过程中将U的信息逐步添加进去就可以得到包含可测基数κ的典范内模型L[U]。可以证明：L[U]有一个绝对的定义；L[U]中有可定义的R上良序；L[U]具有凝聚性且满足GCH（Silver，1971）；L[U]满足一定的覆盖性质（Dodd and Jensen，1982）。

库能在（Kunen，1970）中利用超幂迭代的方法证明了L[U]中只有唯一的正规超滤子D，且如果超滤子U和D有同样的关键点，那么L[U]=L[D]。这表明L[U]与L有类似的典范性质，但也同时暗示每个大基数的类似L的内模型似乎只能容纳该大基数而无法容纳更强的大基数。因此，内模型计划每推进一步都需要更复杂的技术。例如，米歇尔（Mitchell，Willian J.）在（Mitchell，1974）中构造了L[U]，其中U是一个超滤子的连贯序列（coherent sequence of ultrafilters）。它可以见证许多个可测基数，并让每个可测基数携带不止一个正规的超滤子。延展系统模型（extender model）是形如L[E]的内模型，其中E是一个延展系统的连贯序列（coherent sequence of extenders）。在L[E]中可以存在强基数，并且可以证明L[U]和L[E]都是类似L的。米歇尔和斯提尔在（Mitchell and Steel，1994）定义了被称作鼠模型（mice）的类似L的内模型，其中可以存在武丁基数。尼曼（Neeman，Itay）在（Neeman，2002）构造了包含武丁基数个武丁基数的内模型，这被认为是内模型计划目前最好的结果。

而定理4.42似乎改变了内模型计划自始以来给人的印象：沿着大基数层谱每向上一步都需要付出努力，并且不会收获额外的奖励。武丁的结果表明，要么内模型计划能够达到超紧致基数并就此获得全面成功，要么内模型计划在超紧致基数之前就会失败。如果前者实现，那么人们将得到一个所有已知大基数的类似L的模型——终极-L（Ultimate-L）。而对后者的某种证明会成为否认超紧致基数的强证据。无论如何，人们对集合论宇宙的理解似乎来到了一个岔路口。这对哥德尔纲领的追随者来说，无疑是令人兴奋的结果。

在此之前，实在论者的工作是试图沿着一阶算术、二阶算术、三阶算术（或Vω，Vω+1，Vω+2）的路径，即试图通过逐步理解越来越大的集合论宇宙的局部来推进对整个集合论宇宙的理解，从而解决诸如连续统假设等问题。而内模型计划则是基于一个全局性的视角。如果终极-L存在，那么人们对整个集合论宇宙的理解将会有下述图景：令

T=ZFC+（V=终极-L）+足够强的大基数公理，

如果T是一致的，那么设想这些大基数存在是十分合理的。基于大基数公理的典范地位和终极-L的覆盖性质，可以期待任何一致的集合论理论都在T中可翻译。这意味着，将T作为集合论的公理系统不会有任何解释力上的损失。此外，根据终极-L类似L的性质，可以期待终极-L的理论是力迫不变的，因而T是Ω-完备的，也即实际完备的，几乎所有自然的数学问题（不再限于一阶、二阶或三阶算术）都可以在其中得到回答。特别地，终极-L很可能具有足够的凝聚性使得GCH在其中成立。武丁期待，这一基于对集合论宇宙全局性理解而得到的对（广义）连续统假设问题的回答是决定性的。

技术上，问题的关键在于是否能找到类似L的超紧致基数的弱延展系统模型。在趋近于这一目标的过程中，人们可以试图猜测：如果终极-L存在，那么它会是什么样的？例如，马丁和斯提尔在（Martin and Steel，1994）提出了被称作唯一分枝假设（unique branches hypothesis，UBH）、共尾分枝假设（cofinal branches hypothesis，CBH）和策略分枝假设（strategic branches hypothesis，SBH）的树可迭代性假设。米歇尔、斯提尔为武丁基数构造的延展系统模型（鼠模型）基于一种弱唯一分枝假设（Mitchell and Steel，1994）。SBH是相比UBH和CBH更弱的假设。武丁最新的结果表明，UBH和CBH在超紧致基数假设下是不成立的。因此，超紧致基数的内模型不可能是米歇尔-斯提尔式的延展系统模型，而只可能是一个策略延展系统模型（strategic extender model）（Woodin，2011b）。

另一方面，即使武丁的终极-L计划取得了成功，人们仍然可以质疑它是否足以回答连续统假设问题。无疑，如果终极-L存在，那么它将是一个足够典范的集合论模型。在可以容纳所有大基数性质因而其理论可以解释几乎所有ZFC一致扩张的意义下，它符合康托尔和哥德尔关于集合论宇宙极大性的直观，因而可以获得一定的内在性辩护。此外，（（V=终极-L）+大基数公理））是实际完备的，因而可以获得足够强的外在性辩护。可以说，（（V=终极-L）+大基数公理）在内在性辩护和外在性辩护的需求上找到了很好的平衡点。即使如此，人们仍然可以就以下两点提出质疑：（1）集合论宇宙的极大性是否是内在性辩护可以依凭的唯一标准？如果基于对集合概念的内在直观可以提出其他标准，这些标准是否可能相互冲突？如何在这些冲突中取舍？（2）（V=终极-L）虽然可能与所有大基数假设兼容，但其本身仍然是在表达某种极小性。而终极-L的几乎所有集合力迫扩张都具有同样的大基数，并且有可能具有更好的极大性。将（V=终极-L）作为公理是一种为了获得外在性辩护的平衡结果，牺牲了部分关于集合概念的内在直观。那么，关于公理候选的内在性辩护和外在性辩护之间的平衡是否有明确的标准？在这种标准下是否有其他的相互排斥的公理候选？又或者平衡的产物能否作为公理？面对这些质疑，哥德尔纲领的追随者或许可以选择退回到下述立场：终极-L可以被看作是目前所能得到的最典范的集合论模型，（V=终极-L）或许未必是关于集合概念的真理，但是在这个假设下可以没有损失地帮助人们更有效地了解集合论宇宙。

薄葉季路的最新结果（Usuba，2016）表明，由存在超巨基数（hyper huge cardinal）^[20]的集合论模型M生成的脱殊复宇宙VM有一个其中所有模型唯一共同的力迫原模型。武丁宣称（Woodin，2016，p.116），终极-L就是那个脱殊复宇宙的最小元。这或许是实在论者与其他集合论哲学立场（如多宇宙观和基于ZFC的形式主义）持有者之间所能达成的最大共识。

【注释】

[1]《庄子·天下篇》提到惠施关于无穷的零星论述。如“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”，说的似乎是作为无穷大量的实无穷——“大一”与作为无穷小量的实无穷——“小一”。而以“大一” “小一”为名，表明当时人们所能理解的作为实无穷的无穷大、无穷小都是唯一的。此外，惠施与名家辩论时提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”讲的似乎就是潜无穷。这显示出，惠施与名家已经能意识到这些违背常理的观念。令人遗憾的是，笔者未能在其中找到更具体的观点与论证。《天下篇》斥责惠施与名家的这些争辩“以反人为实” “弱于德，强于物，其涂袄矣”，站在道德的高度终结了这类思辨的合法性。

[2]假设选择公理，集合A与集合B有相同的大小等价于说card A=card B。其中，card A是与A具有相同大小的最小序数。当然，康托尔对“有相同大小”的定义本身不需要选择公理。

[3]h：A→B是双射，即对任意a1，a2∈A，若a1/=a2，则h（a1）/=h（a2）（h是一一的或单射），并且对任意b∈B，存在a∈A，有h（a）=b（h是满射）。

[4]Vω的定义参见第102页，定义3.7。

[5]理论间的翻译或解释参见第97页。

[6]请读者注意这里添加的对模型的传递性限制。运用模型论方法，可以构造含有非标准自然数的集合论模型。例如，假设Con（ZFC），那么也存在（ZFC+¬Con（ZFC））的非标准模型，其中有一个非标准的“自然数”见证ZFC是不一致的。我们称含有标准自然数结构的模型为ω-模型。传递模型都是ω-模型。

[7]在集合论语境下，我们可以把一阶算术公式/命题定义为所有形如φHF的集合论公式/命题。

[8]下文中对描述集合论更具体的介绍预设了一些基本的点集拓扑知识。读者可以参考（Munkres，2000）等教材。

[9]利用典范编码可以证明贝尔空间的有穷乘积空间（ωω）n与其本身ωω同胚。

[10]不可达基数的定义参见定义4.13。

[11]因此，在构造不具备正则性质的反例（如维塔利集、伯恩斯坦集）时，选择公理是必要的。

[12]关于描述集合论上述结果的证明和更详细的介绍可以参考（Moschovakis，2009）。

[13]如果A是贫集，玩家II只需要每次避开一个无处闭集，可数次下避开所有列出的无界闭集即可。如果[s]≺\A是贫集，玩家I只需要第一步走s，接着执行类似前一情况下玩家II的策略就行了。

[14]转译自（Kanamori，2003，p. 377）。

[15]例如，ω上的弗雷歇滤子（Fréchet filter）的极大化。

[16]指可构成性公理V=L。由于L被证明是最小的内模型，可构成性公理可以被视为刻画了某种极小性而与大基数公理相对。斯科特的定理4.17证明了这一直观。

[17]马丁和斯提尔在1986年将他们的内模型计划推广至关于武丁基数的最好可能，即得到了同时包含n个武丁基数和R上良序的传递类。而根据定理4.31，该模型不能被良序化。参见（Martin and Steel，1994）。

[18]一个不可达基数κ被称作玛诺基数（Mahlo cardinal），当且仅当比κ小的不可达基数构成一个κ上的稳定集（stationary set）。玛诺基数的证明论强度严格强于不可达基数，严格地弱于可测基数。

[19]比Ω-猜想稍强的命题。

[20]非常强的大基数假设。超巨基数本身是超紧致基数，并且是其下超紧致基数的极限。