哥德尔和索罗维的结果显示，投影集是否具有正则性质是独立于ZFC的问题。接受ZFC的形式主义者可能会就此宣布游戏结束，鲁金关于不可知的猜想就是这个问题最终的答案。而对实在论者来说，这“毫不意味着问题的最终解决”（Gödel，1947）。一些集合论学家试图寻找新的公理来判定。

根据（Kanamori，2003，p. 371）的报道，集合论学家对博弈问题的关注最早体现在（Zermelo，1913）中，并影响了博弈论的奠基人之一冯·诺伊曼。在这篇文章中，策梅洛论证了：如果一个棋手在棋局q下有一个赢策略，那么存在t（q），无论他的对家怎么走，他总能在t（q）步内取胜。策梅洛的结果被后人解读为：任意GX（A）博弈的有穷版本都是被决定的。

盖尔（Gale，David）和斯图尔特（Stewart，Frank M.）在（Gale and Stewart，1953）开始考虑完全信息的无穷博弈概念。对任意非空集合X，任意A⊂Xω，一个盖尔-斯图尔特博弈（Gale-Stewart game）GX（A）被定义如下：有两个玩家I和II参与博弈。在偶数轮由玩家I选择X中元素，记作x2n；在奇数轮由玩家II选择X中元素，记作x2n+1，如此往复。

玩家I：x0　x2　...

玩家II：x1　x3　...

我们称博弈生成的无穷序列x=〈xi〉i＜ω为一盘（play），而把x的有穷前段称作中盘（partial play）。如果x∈A，则称x盘为玩家I获胜；反之则为玩家II获胜。

盖尔-斯图尔特博弈GX（A）的策略被定义为一个从X＜ω到X的函数τ。即对任意中盘s∈X＜ω，策略τ告诉玩家下一步该走τ（s）。给定策略τ以及y=〈yn〉n＜N≤ω∈X≤ω，递归定义τ *y=x为：x2n=τ（x↾2n），x2n+1=yn，即玩家II走出y序列而玩家I按照策略τ应对所走成的（中）盘。类似地，定义y*τ=x为：x2n=yn，x2n+1=τ（x↾（2n+1）），即玩家I走出y序列而玩家II按照策略τ应对所走成的（中）盘。我们称策略τ是玩家I在博弈GX（A）中的赢策略，当且仅当对任意y∈Xω，有τ *y∈A。即：无论玩家II怎么走，玩家I按照策略τ应对总能赢。类似地，策略τ是玩家II在博弈GX（A）中的赢策略，当且仅当对任意y∈Xω，有y*τ /∈A。

数学家很快发现，盖尔-斯图尔特博弈与实数集的正则性质有关。巴拿赫-马祖尔博弈（Banach-Mazur game）（A）被定义为玩家I与玩家II交替选择开闭集...（也可等价地描述为交替选择非空有穷ω序列s0，s1，s2，…，其中O0=[s0]≺，O1=，...），若最终···∈A，则玩家I获胜，反之则为玩家II获胜。显然，如果A是一个贫集，那么玩家II有一个（A）的赢策略；而如果A在某个开闭集[s]≺中的补集是贫集，那么玩家II有一个赢策略。^[13]马祖尔（Mazur，Stanisław）在《“苏格兰咖啡馆”笔记本》（The Scottish Book）中问道：玩家I或玩家II有赢策略是否是A或某个[s]≺\A是贫集的充要条件？据报道，巴拿赫（Banach，Stefan）在1935年给出了肯定的答案，但没有证明。梅切尔斯基（Mycielski，Jan）在1956年宣布得到了一个证明，但克斯托比（Oxtoby，John C.）的（Oxtoby，1957）是第一个正式发表的证明。

定理　4.9（巴拿赫-马祖尔-梅切尔斯基-克斯托比）对任意A⊂ωω，

（1）A是贫集，当且仅当玩家II在博弈（A）中有赢策略；

（2）存在s∈ω＜ω使得[s]≺\A是贫集，当且仅当玩家I在（A）中有赢策略。

巴拿赫-马祖尔-梅切尔斯基-克斯托比定理证明

现证明定理4.9（1）和（2）从右到左的方向。

假设玩家II在A中有赢策略τ。即无论玩家I怎么走，玩家II根据策略τ总可以将最终盘引导到A之外。不妨设目前中盘为p。如果玩家I下一步走t，根据策略τ，玩家II会走τ（t），这意味着

会被排除出终盘的可能。令Bp=∩t∈ω＜ωBp，t，则无论玩家I在中盘p时怎么走，都不可能让终盘走进Bp。容易证明，Bp是[p]≺的一个无处稠密的子集。

再令B=∪p∈ω＜ωBp。显然，B是一个贫集。要证明A⊂B，反设存在x∈A而x不输于任何一个Bp。特别地，对任何中盘x↾n，玩家I都存在一个走法t，使得玩家II根据策略τ走出来的结果无法排除x，即由此，可以递归定义玩家I的走法t0，t1，...为每次最小的t使得玩家II根据策略τ无法排除x，那么，〈t0，t1，...〉*τ=x∈A，矛盾。

对于（2），由于玩家I先行。所以玩家I在（A）中有赢策略，即玩家I可以走一步s，使得他作为后手（即扮演玩家II的角色）在博弈（[s]≺\A）中有赢策略。

利用对ω＜ω的典范编码〈s（i）〉i＜ω，可以将一个巴拿赫-马祖尔博弈（A）改造为一个等效的盖尔-斯图尔特博弈。定义A**⊂ωω为则玩家I / II在（A）中有赢策略，当且仅当玩家I / II在Gω（A**）中有赢策略。

基于上述定理以及对其他相关结果的观察，梅切尔斯基和施泰因豪斯（Steinhous，Hugo）在（Mycielski and Steinhous，1962）提出了决定性公理（axiom of determinacy），以期解决实数集的正则性质问题。我们称一个盖尔-斯图尔特博弈Gω（A）是被决定的，当且仅当要么玩家I要么玩家II有一个赢策略。显然，一些简单的集合是被决定的。例如，空集、全集或形如[s]≺的开闭集（|s|≤1时玩家I有赢策略，反之玩家II有赢策略）。进一步，每个开集也是被决定的。

开集是被决定的(www.daowen.com)

假设开集U=∪i＜ω[si]≺。又假设玩家I在Gω（U）上没有赢策略。因此，玩家I第一步走任意n0，玩家II总可以选到n1使得玩家I在接下来的博弈中仍然没有赢策略。否则，玩家I就可以选到m0使得无论玩家II怎么选，玩家I在接下来的博弈里有赢策略。那么，玩家I从一开始就有赢策略了，即第一步选m0，然后视玩家II选择而执行接下来的赢策略。由此，可以递归地定义玩家II的策略为：每一步选择最小的数使玩家I在接下来的游戏里始终没有赢策略（之前的论证作为归纳步骤保证这样的数总是存在）。玩家II按此策略走出的盘必定不属于任何[si]≺，否则当中盘走成si的扩张的时候玩家I就有赢策略了（事实上已经赢了），这与对玩家II策略的定义矛盾。

梅切尔斯基和施泰因豪斯提出的决定性公理（AD）断言：

对任意A⊂ωω，Gω（A）是被决定的。

利用巴拿赫-马祖尔-梅切尔斯基-克斯托比定理，容易证明AD蕴涵所有实数集具有贝尔性质。对任意实数集A，考虑所有[s]≺使得[s]≺\A是贫集。把它们并起来得到开集

UA=∪{[s]≺|s∈ωω∧[s]≺\A是贫集}，

显然，UA\A还是一个贫集。那么考虑巴拿赫-马祖尔博弈（A\UA）。由决定性公理，Gω（（A\UA）**）是被决定的，因而（A\UA）也是被决定的。容易证明玩家I没有赢策略，因此玩家II有赢策略。所以，A △UA是一个贫集。

戴维斯（Davis，Morton）在（Davis，1964）构造了盖尔-斯图尔特博弈的另一个变种（A）。其中，玩家I每次出一个有穷的01序列，而玩家II每次只出0或1。显然，（A）也可以被改造为等价的盖尔-斯图尔特博弈。戴维斯证明了：（1）集合A⊂2ω是可数的，当且仅当玩家II有（A）的赢策略；（2）集合A包含完美集，当且仅当玩家I有赢策略。因此，决定性公理也蕴涵每个实数集都具有完美集性质。最后，梅切尔斯基和斯威尔奇考夫斯基（Świerczkowski，Stanisław）在（Mycielski and Świerczkowski，1964）中证明了决定性公理蕴涵每个实数集都是勒贝格可测的。综合上述结果就有：

定理　4.10　假设决定性公理成立。那么每个实数集都是勒贝格可测的，具有完美集性质和贝尔性质。

决定性公理似乎完美地解决了正则性质问题，甚至超出预期地证明了“所有”实数集都满足正则性质。然而，梅切尔斯基和施泰因豪斯在提出决定性公理伊始（Mycielski and Steinhous，1962）就注意到决定性公理是与选择公理相矛盾的。假设选择公理，人们可以枚举所有可能的策略，运用对角线法构造出实数集让玩家I和玩家II都没有赢策略。梅切尔斯基和施泰因豪斯在文章中颇具先见之明地指出：

这篇文章的目的并不是贬抑经典数学和它对集合宇宙根本上“绝对的”直观（其中就包括选择公理），而只是提议另一种似乎非常有趣的理论，尽管它的一致性是有疑问的。我们的公理可以被看作是在经典集合概念上的一个限制，导致一个更小的宇宙，即被决定的集合，这些集合反映出一些更符合物理规律的直观，而这是经典集合【概念】所不满足的（例如，【AD】取消了对球体悖论般的分解）。我们的公理可以被看作是对经典集合论的补充，断言存在一类集合满足【AD】和除了选择公理以外的经典公理。（Mycielski and Steinhous，1962）^[14]

梅切尔斯基和施泰因豪斯所猜想的满足决定性公理和除了选择公理以外经典集合论公理的集合类被证明或许就是L（R）。这是后话了。就描述集合论真正关心的可定义的实数集而言，的确只需要部分的决定性公理就足以提供所期望的结果了。对定理4.10证明更细致地分析和改进，可以得到：

定理　4.11　令Γ表示波莱尔集层谱、投影集层谱或可构成集层谱某一层以下的所有实数集组成的类。令如果所有Γ中集合是被决定的，那么所有∃RΓ中集合是勒贝格可测的，具有完美集性质和贝尔性质。

∃RΓ={X⊂ωω|∃Y∈Γ（X是Y的投影）}。

特别地，“所有集合是被决定的”蕴涵“所有集合是勒贝格可测的且具有完美集性质和贝尔性质”。定义投影集决定性公理（axiom of projective determinacy，亦作PD）为“所有投影集是被决定的”，那么，PD蕴含“所有投影集是勒贝格可测的且具有完美集性质和贝尔性质”，ADL（R）（所有可构成集是被决定的）则蕴涵所有可构成集都满足正则性质。

现在，问题被集中于决定性公理会在可定义实数集的哪个层次上成立。我们知道，非常简单的集合，如开集、闭集都是被决定的。但更复杂集合的决定性证明则遇到了较大的阻力。直到1975年，才由马丁（Martin，Donald A.）证明了所有波莱尔集是被决定的（Martin，1975）。

梅切尔斯基早在（Mycielski，1964）中就注意到：

定理　4.12　假设AD，那么ω1在L中是不可达基数。

也就是说，Con（ZF+AD）→Con（ZFC+存在不可达基数）。决定性公理的证明论强度是严格强于ZFC的，这与连续统假设的情况不一样。梅切尔斯基的发现提示人们，要证明一类更复杂的集合是被决定的，也即AD在某个集合宇宙中成立，可能需要援引大基数公理。