在3.1节和3.2节中，我们分别介绍了基于冯·诺伊曼层谱WF和基于可构成集类L的相对一致性证明。这些证明都属于基于内模型方法的证明，都可以被看作是给出了一种一阶逻辑理论间的翻译，并且也都可以在这样的有穷主义系统中证明。我们也提到，基于力迫法的相对一致性证明本质上不同于基于内模型方法的证明^[28]，也很难直接解读为给出了一个一阶逻辑理论间的翻译。但是，这些并不妨碍它仍然是有穷主义可证的。

事实上，对力迫法论证可以有多种解读。上一子节介绍的通过可数传递的模型的解读只是其一。在这种解读下，我们似乎站在一个超越的视角来讨论玩具模型M以及它的脱殊扩张——另一个玩具模型M[G]，这容易让认为仅有一个集合论宇宙的实在论者感到困惑。而在本子节中，笔者将介绍另一种完全不涉及集合模型的解读。所有的工作可以被看作发生于那个绝对的集合论宇宙V，但生活在V的人们仍然可以谈论一些想象，尽管这些想象在V往往是不可能实现的。尽管如此，我们可以定义这些谈论想象的语言甚至它们的语义。

这种语言被称作力迫语言（forcing language）。给定偏序P，力迫语言FLP被定义为集合论一阶语言L∈的扩张，即将所有P-名称（VP中对象）作为它的常元符号。因此，我们经常用来表示一则FLP句子。注意，所有P-名称和FLP公式都在V中。

仍然在V中，我们可以定义FLP的语义。它与塔斯基的二值语义学不同，是关于P中条件和FLP句子的一个二元关系，我们称作力迫关系。一个P条件p与一则FLP语句具有力迫关系往往被记作，读作p力迫。直观上，pφ（τ）表示p是φ（τ）成立的充分条件。下述定理更严格地表述了这个直观。

引理　3.23（力迫真性定理）　令M是ZFC的可数传递的模型，P∈M是一个偏序。令是语言FLP∩M中的句子，G是M上的P脱殊滤子，那么

也就是说，如果并且那个脱殊的完全条件G经过p的话，那么就在由G生成的脱殊扩张M[G]中成立。上述引理是力迫法可数传递的模型解读的核心引理，在证明M[G]满足分离公理模式的证明中需要引用该引理。但是，在本子节的解读中，读者可以设想自己完全生活在M中，无需理会外面的对象，如G或M[G]。

力迫语言语义定义

显然，力迫语言公式也是通过递归构造得到的。特别地，每个P-名称也是通过递归定义的。因此，我们也需要递归地定义关系。首先，对原子语句做如下定义：

定义　3.24　对P-名称τ，ϑ，π，定义

（1）pτ=ϑ，当且仅当∀σ∈dom τ ∪dom ϑ∀q≤p [qσ∈τ ↔qσ∈ϑ]；

（2）pπ∈τ，当且仅当集合{q≤p|∃（σ，r）∈τ[q≤r ∧qπ=σ]}是在p下稠密的。

这里，一个集合X在p下稠密指的是集合X是偏序P↾p={q∈P|q≤p}上的稠密集。注意，上述定义的定义项中也出现了“”。事实上，它是建立在对{（τ，σ，=/∈）|τ，σ∈VP}的一个良序关系上的。关于这个良序的具体定义可以参考（Kunen，2013，p. 257）。

对复合语句：

定义　3.25

（1）p¬φ，当且仅当∀q≤p（q /φ）；

（2）pφ ∧ψ，当且仅当pφ并且pψ；

（3）p∀xφ（x），当且仅当∀τ∈VP[pφ（τ）]。

这里，我们按照通常的做法将蕴涵→、析取∨和存在量词∃x视作通过定义得到的逻辑联词。由此，可以证明：

引理　3.26

（1）pφ→ψ，当且仅当¬∃q≤p（qφ ∧q¬ψ）；

（2）pφ ∨ψ，当且仅当集合{q|（qφ）∨（qψ）}在p下稠密；

（3）p∃xφ（x），当且仅当集合{q|∃τ∈VP[qφ（τ）]}在p下稠密。

注意，力迫关系的定义援引偏序P。严格来说，应该记作P。但在上下文明确的前提下，人们往往省略下标P。

根据对力迫关系的定义，可以证明下述引理。这些引理可以进一步帮我们建立关于力迫关系的一些直观。

引理　3.27　对任意φ∈FLP，

（1）pφ且q≤p，则qφ；

（2）pφ，当且仅当集合{q≤p|qφ}在p下稠密；

（3）pφ，当且仅当∀q≤p（q /¬φ）。

（1）说的是：如果一个条件迫使φ成立，那么任何比它强的条件也迫使其成立。关于（2），集合{q≤p|qφ}在p下稠密意味着对p的任何加强终究无法避免遇到一个力迫φ的条件。因此，直观上p就已经力迫φ了。而（3）说的是：如果一个条件p已经力迫φ了，那么任何比它更强的条件不可能再力迫φ的否定成立；而如果所有可能的加强的条件都无法力迫一个句子的否定，那么这个句子已经被力迫成立了。特别地，pφ且p¬φ是矛盾的。

现在，为了证明Con（ZFC）→Con（ZFC+¬CH），我们需要在中证明：如果存在一个从（ZFC+¬CH）出发到0=1的证明，那么就存在一个从ZFC出发到0=1的证明。为此，只需要找到一个原始递归函数f：N→N，使得

我们知道，如果存在这样一个原始递归函数，那么该函数可以在算术语言中被定义并且可以证明它是全函数，从而证明（3.12）。

需要说明的是，（3.12）是一则形如∀x∈N[φ（x）→ψ（x）]的全称句子（或称句子），而其中的“x编码了从（ZFC+¬CH）出发到0=1的证明”（即φ（x））本身是一个只含有有界量词的的公式。直观而言，判断一个具体的φ（n）是否成立，只需要考虑与n非常“接近”的若干自然数，因此φ（n）是一个算术的局部性质。^[29]事实上，φ（x）是一个原始递归的性质。对任意给定的自然数n，无论φ（n）是否成立，都可以证明它或它的否定。特别地，如果我们在ZFC中证明了某个定理σ，即我们确实给出了编码该定理的某个自然数n，那么，在弱如的系统中就可以看到这点：

对于这些孤例，甚至不需要任何归纳法，在PRA甚至罗宾逊算术中即可证明。但有时候还需要在中证明形如

的命题，这里的θ往往是一个递归的性质，例如“x是（ZFC+¬CH）中的一句句子”。类似（3.12），如果可以找到一个原始递归的函数g，使得

那么，（3.13）便是中可证的了。

因此，接下来需要在算术语言中做下述工作。

（1）给出具体的自然数，说明这些自然数编码的公式在ZFC中定义了偏序P=Fn（ℵ2×ω，2），以及由P决定的力迫语言FLP和力迫关系；

（2）给出具体的原始递归函数λ（由上述自然数决定），如果φ是逻辑公理、ZFC公理或¬CH，那么λ（φ）是从ZFC到1φ的一个证明；

（3）给出具体的原始递归函数δ，使得对任意集合论公式φ，ψ，δ（φ，ψ）是从[ZFC+（pφ→ψ）+（pφ）]到pψ的证明。

由（2）、（3）中的λ，δ两个函数，通过原始递归定义就可以得到满足（3.12）的原始递归函数f。假设序列S=〈β0，...，βn〉是从（ZFC+¬CH）到0=1的证明。对任意0≤i≤n，如果βi是逻辑公理或（ZFC+¬CH）中的句子，那么就用λ（βi）替换S中的〈βi〉；如果存在j，k＜i使得βk=βj→βi，那么就用δ（βj，βi）替换S中的〈βi〉。将经过这番改造的序列记作f0（S）。容易验证，f0（S）正是从ZFC到10=1的证明序列。我们再在f0（S）后面连接上从[ZFC+（10=1）]到0=1的证明序列^[30]，就得到了从ZFC到0=1的证明序列f（S）了。

对于上文（2）、（3）中所要求原始递归函数的构造，笔者仅以下面几个例子稍作说明。

（3）是比较简单的。引理3.26是ZFC的内定理，其中3.26（1）是形如∀（p，φ，ψ）Φ（p，φ，ψ）的句子。将这个证明序列连接上必要的逻辑公理（根据φ，ψ选择的）例式和相应的分离规则后件就可以得到对pψ的证明δ（φ，ψ）。

（2）中，1¬CH，1σ（σ是基础公理、对集公理、并集公理等）的证明都是孤例，只需要给出具体的证明即可。需要说明的是逻辑公理模式、分离公理模式和替换公理模式等。

例如，一般将重言式^[31]全部列为逻辑公理。所以，我们必须给出一个原始递归的方法，任给一则公式φ，能够机械地判断其是否为重言式，并且如果是的话能生成从ZFC到1φ的证明。

我们知道，一则公式是否是重言式是原始递归的。因为，任给一则一阶逻辑公式，可以机械地将其分解为若干素公式的布尔组合，并给出其真值表，例如表3.1所示。

表3.1　真值表

对任意公式的真值表，只需要将其中出现在公式α列的1替换为pα，0替换为p¬α，就可以得到相应的力迫法版本的真值表，见表3.2。

表3.2　力迫法版真值表

(www.daowen.com)

力迫法版的真值表应该被解读为：存在一个原始递归的方法，任给公式φ都可以将其分解为n（φ）个素公式（例如，α ∧β，其中α和β是素公式），并给出2n（φ）个证明序列。在本例中是分别见证

的四个证明序列。

任给句子φ，在ZFC中容易证明{p∈P|pφ ∨p¬φ}是稠密的。类似地，我们不难构造一个原始递归方法，任给有穷公式序列〈α1，...，αn〉，可以得到从ZFC到

的证明，其中，每个γi都是形如[q（¬）α1∧...∧q（¬）αn]的句子，也即枚举了所有2n种p力迫每个αj或其否定的组合。对命题逻辑优析取范式了解的读者会很容易理解（3.15）的结构。如果τ是重言式，〈α1，...，αn〉是τ的素公式分解，连接（3.15）和相应力迫法版真值表的证明，就可以得到从ZFC到∀p∈P∃q≤p（qτ）乃至1τ的证明。

再以分离公理模式为例。显然，判断一则公式是否是一则形如∀X∃Y ∀z[z∈Y ↔z∈X ∧φ（z）]的分离公理并析出其中的φ（z）是一个原始递归的过程。接下来，我们以公式φ（z）为例，给出ZFC到1∀X∃Y ∀z[z∈Y ↔z∈X ∧φ（z）]的证明概述，并希望读者注意到，该证明并不依赖φ的什么特殊性质，因而可以能行地从φ得到。

要证明

1∀X∃Y ∀z[z∈Y ↔z∈X ∧φ(z)],

只需要证明：对任意P-名称τ有

1∃Y ∀z[z∈Y ↔z∈τ ∧φ(z)]。

令π=

{(θ,p)|θ∈dom τ∧p∈P∧pθ∈τ∧pφ(θ)}。

只需要证明：对任意θ∈VP都有

1θ∈π ↔θ∈τ ∧φ(θ)。

因而，只需要证明：

(1) ¬∃p∈P[pθ∈π∧p(θ /∈τ ∨¬φ(θ))]；

(2) ¬∃p∈P[p(θ∈τ ∧φ(θ))∧pθ /∈π]。

要证明（1），假设有pθ∈π，即{q≤p|∃（σ，r）∈π [q≤r ∧qθ=σ]}在p下稠密，那么就存在q≤p以及（σ，r）∈π，使得q≤r且qθ=σ。由π的定义，（σ，r）∈π意味着rσ∈τ且rφ（σ）。又因为q≤r，所以有qσ∈τ，qφ（σ）以及qθ=σ，加之可证qθ=σ→（σ∈τ→θ∈τ）和qθ=σ→φ（σ）→φ（θ）（即q力迫两个逻辑公理例式），就可以得到qθ∈τ以及qφ（θ）。而这与q≤p（θ /∈τ ∨¬φ（θ））矛盾。

要证明（2），假设有pθ∈τ且pφ（θ），即{q≤p|∃（σ，r）∈τ[q≤r ∧qσ=θ]}是在p下稠密的。取q≤p以及（σ，r）∈τ，使得q≤r ∧qσ=θ，因而也有qσ∈τ。类似地，可以证明qφ（σ）。因此，由π定义可得（σ，q）∈π。因而qσ∈π，又由qσ=θ得到qθ∈π。

由此，我们完成了第137页提出的任务，即得到了原始递归函数λ，它可以给出ZFC到1力迫每条逻辑公理、ZFC公理以及¬CH的证明；递归函数δ使得δ（φ，ψ）是从[ZFC+（pφ→ψ）+（pφ）]到pψ的证明。

由此，任给一个从（ZFC+¬CH）到0=1的证明序列可以原始递归地得到一个从ZFC到10=1乃至0=1的证明。因此，在中就可以证明Con（ZFC）→Con（ZFC+¬CH）。

【注释】

[1]策梅洛最初给出的集合论公理系统没有替换公理模式（replacement schema），后者由弗兰克尔（Fraenkel，Abraham）和斯寇伦（Skolem，Thoralf）添加。因此，策梅洛集合论（Zermelo set theory，ZC）指ZFC减去替换公理模式所得的集合论公理系统。

[2]参见本章接下来介绍的诸案例。

[3]更详细的集合论基础知识可参考（郝兆宽、杨跃，2014）。

[4]在ZF中，容易证明WF=V。

[5]外延公理说的是，具有同样的元素的集合就是同一个集合，在形式语言中表示为：∀X∀Y[∀z（z∈X ↔z∈Y）→X=Y]。

[6]任何原始递归函数在中都是可证递归的。特别地，将一个集合论公式的编码转换为一个它在WF下相对化的编码的函数πWF是原始递归；我们将ZFWF中对某个公式α的证明（的编码）转换为ZF-到αWF的一个证明（的编码）的函数也是原始递归的。

[7]同样，证明实际也是给出了一个原始递归的变换。

[8]任给基数κ，λ，κλ是集合{f|f：λ→κ}（即所有从集合λ到集合κ的函数组成的集合）的基数。幂运算对WF绝对指：对任意κ，λ，κλ与其在WF中的值（κλ）WF相等。在许多内模型中，基数幂运算未必绝对，例如后文将介绍的L。

[9]良序定理：每个集合A都存在其上的一个良序W⊂A×A，即W是一个线序且A的每个子集都有W极小元。事实上，在ZF中容易证明，良序定理与选择公理等价。

[10]引入ON会产生悖论，参见第104页。

[11]利用对角线法证明。参见第55页。

[12]这等价于证明ω＜ω（所有有穷自然数序列组成的集合）与ω具有相同的基数。

[13]α+是比α大的下一个基数。

[14]哥德尔根据罗素的表述区分了三种恶性循环原则，一种是“含蕴”（involve）总体，一种是“预设”总体，最后一种是必须“通过”总体“才能定义”。哥德尔认为只有最后一种才是值得讨论的。

[15]直谓主义者通常允许自然数集ω这个非直谓的对象存在，并在此基础上通过直谓定义的方式构造出其他数学对象。

[16]我们现在知道，根据哥德尔第二不完备性定理，我们无法期待有一种能行的方法可以一劳永逸地让我们免于悖论的威胁。

[17]乘积公理，即非空集合间的任意乘积非空。

[18]见蒯因在（van Heijennoort，1967）中为（Russell，1908）写的引论。

[19]以自然数集ω还是以空集Ø为起点来构造可构成集类，对集合论学家来说是没有区别的。因为，容易证明Lα（ω）⊂Lω+α，因而L（ω）=∪α∈ONLα（ω）=L。

[20]严格按照分支类型论将集合或性质处理成façon de parler（说话方式）的话，作为ω中的元素的n∈ω与作为L1（ω）中ω上可定义子集的n⊂ω是不同的对象。前者属于类型0，而后者属于类型1。当我们希望将分支类型论概念与集合论中的可构成集概念做对比时，我们不得不将分支类型论外延化。由此，我们才可以说ω⊂L1（ω）。但是，考虑到罗素本人也通过引入可化归公理实现对分支类型论的外延化，这里的做法也就不显得那么违背分支类型论的初衷了。

[21]关于理论间的翻译，参见本书第97页。

[22]就力迫法的具体技术细节而言，（Kunen，2013）是经典的教科书。中文教材方面可以参考（郝兆宽、杨跃，2014）。

[23]当时的哥德尔早已放弃对连续统假设独立性证明的探索，转而从事哲学方面的工作。

[24]这里需要选择公理。

[25]本书中，在上下文不会造成误解的情况下往往将结构（M，∈）简写为M，把（M，∈）φ简写为Mφ。

[26]我们称一个序数κ是世界基数，当且仅当VκZFC。

[27]需要指出的是，这里“保持基数”的结果依赖于偏序Fn（×ω，2）的特别性质，即不存在不可数多的两两不兼容的条件。这并非普遍成立，例如Fn（ω，）就不满足。并且由它生成的脱殊扩张中，原来的被“坍塌”为一个可数的序数。

[28]可以证明，一些相对一致性结果不可能通过内模型方法得到。见第122页。

[29]读者可以对比集合论的局部性质。见第127页。

[30]这是一个固定的证明。我们已经在ZFC中证明了pφ与p¬φ矛盾，以及10 /=1。

[31]一般将一阶逻辑的素公式（prime formula）定义为原子公式和形如∀xα（以及∃xα）的公式。如此，一个一阶逻辑公式就可以被看作是若干素公式的布尔组合，也即以素公式为命题变元的命题逻辑公式。我们称一个一阶逻辑公式是重言式，当且仅当它在上述意义上是一个命题逻辑重言式。