独立性或一致性结果可能是各种数学定理中最具有逻辑学特色的一类成果，这些结果总是依赖于对逻辑或数学工作尤其是演绎证明本质的理解。这其中又有一类结果，被称作相对一致性（relative consistency）。这类结果往往更加富含寓意，其证明或证明的发现过程甚至会让初识者感到些许神秘，也因此成为了许多逻辑学、哲学爱好者津津乐道的谈资。

一致性结果往往是指一个理论Σ（命题集）是无矛盾的。在经典逻辑下，所谓Σ无矛盾就是不存在从Σ出发到某个矛盾律特例（如φ∧¬φ）或x/=x的一个证明。同样在经典逻辑下，从一则矛盾律特例可以证明任何命题，所以不一致的理论是没有意义的。独立性结果一般是指某个公式φ独立于某个理论Σ，也即不存在从Σ到φ的证明，也不存在到¬φ的证明。这等价于说，理论Σ ∪{¬φ}和Σ ∪{φ}都是一致的。所以，本质上一致性结果或独立性结果都是某种关于不可证的结果。

一致性与数学哲学主要问题休戚相关。如果说，对数学哲学的终极问题——数学命题何以为真——暂时难以期待一个无争议的答案，那么一致性问题则是必须被解决且似乎有可能得以解决的基础问题。即使在极端的数学形式主义者看来，数学的真属性或许可以放弃，不一致也是不可接受的。而另一方面，根据塔斯基真不可定义定理（第14页，定理1.2），如果我们有一个统一的数学基础的话，那么建立在这一基础之上的数学的真是无法得到一个符合直观的数学定义的；但一个给定数学基础（公理系统）的一致性往往是一则很容易写出来的严格的数学命题。因此，希尔伯特将一致性证明作为其数学基础研究纲领最后完成的标志性成果。(www.daowen.com)

独立性虽然在数学上就等价于一对一致性结果，但却是相对而言人们不太乐见的。它表示系统不够强，以至于无法判定目标命题。人们总是希望能有一个足够强的数学公理系统，最好具有完备性，即可以判定语言中的任何命题。我们知道，根据哥德尔不完备性定理，人们寄予期望的数学公理系统，无论是皮亚诺算术还是策梅洛-弗兰克尔集合论抑或是它们的递归且一致的扩张都不是完备的。然而，哥德尔定理中所给出的独立性例证都是些通过哥德尔不动点引理生造的、似乎在诉说“我不可证”的算术命题。20世纪中叶以后越来越多“自然”的数学命题被发现是独立于一些被普遍使用的公理系统的，其中较著名的就是连续统假设的独立性和帕里斯-哈林顿定理（Paris-Harrington theorem）。这些成果揭示，不完备性现象已经侵入实际的数学研究了。这理应再次唤起人们对数学基础问题的关注，例如，寻找数学新公理的呼唤会显得更加紧迫。另一方面，独立性结果也是不同程度的构造主义者或形式主义者在为其立场辩护时可以借用或必须直面的论据。