数学家群体曾经十分热衷于对基础的哲学讨论。庞加莱不仅有关于数学基础的论述，对更一般的科学哲学问题也有专门的著述（参见Poincaré，1913）。希尔伯特纲领（Hilbert’s Program）或许可以被视为数学家们试图以纯数学的方式解决基础问题的野心的巅峰。

戏剧性的是，1930年，正是在希尔伯特宣称“我们必将知道”（见第2页）的那个会议上，年轻的哥德尔公布了一个定理，以纯数学的方式证明了希尔伯特的梦想是无法实现的。鉴于其对数学基础问题出人意料的回应，这则后来被称作哥德尔不完备性定理的命题被许多数学家认为是20世纪最重要的数学定理。然而，也正是这条定理使得数学家群体对于基础问题的热情骤然降温。

我们知道，公理化集合论ZFC是一个严格的公理系统，避免了所有已知的数学悖论，并且以非常优美的方式将几乎全部当代数学纳入其中。然而，作为数学基础，它仍然无法真正满足数学家们苛刻的期待。它的一致性来源于人们的信念而不是证明，并且即使它是一致的，它也不是完备的。当代数学家接受ZFC或其他公理系统作为基础似乎都只是权宜之计，只是期望那个基础在他自己的工作范围内足够用且不会出岔子。基础问题在数学家的心目中似乎逐渐成为不可解乃至不值得解的问题。

连续统假设独立性结果（见第三章）是另一个震动数学基础的纯数学结果。但它并未扭转，反而加速了数学家远离基础问题的过程。根据哥德尔和科恩（Cohen，Paul）的结果，ZFC无法证明也无法证否连续统假设。以哥德尔为代表的实在论者认为这一独立性结果并不能算作连续统问题的解决。连续统假设要么真要么假。既然ZFC无法判定，那就需要通过寻找新公理来判定其真值。但更多的数学家不认为任何新的候选公理能具有如ZFC一般的自明性。而任何数学定理σ，即使它的证明看似使用了某条独立于ZFC的大基数公理（large cardinal axiom，见4.1.3小节）LCA，即ZFC+LCA⊢σ，也仍然可以被看作是在ZFC中证明了一条以该大基数公理为前件的假言命题：ZFC⊢LCA→σ。似乎将全部数学工作简单地等同于在ZFC中做证明（如Shelah，1993）也并不会损失什么。笔者将这种想法称作数学的新形式主义。

与其说新形式主义是一种数学哲学立场，不如说它是数学家们常常借以回避关于他们工作意义的反思的安慰剂。科恩形象地描述了数学家们面对哲学困境时的心理活动：

实在论可能是最被数学家们所接纳的立场。而直到他开始意识到集合论中的一些困难时，他才会开始怀疑这个立场。如果这个困难令他特别沮丧，他就会冲向形式主义的避难所……（Cohen，1971，p.11）

事实上，无论实在论还是形式主义，它们之所以受到数学家的欢迎，是因为可以用来抵挡对他们工作意义的非难，捍卫数学自治。而朴素的实在论在当代面临大量难以解释的独立性现象，于是数学家们只能借形式主义暂避。(www.daowen.com)

只是今天的新形式主义与希尔伯特形式主义有相似的主张，却在动机上有本质的不同。历史上，弗雷格等人的逻辑主义与希尔伯特形式主义都是以捍卫经典数学为己任的，并都反对数学修正主义（如直觉主义）者关于修正已有数学的主张。逻辑主义与形式主义的策略都是诉诸基础。前者试图在纯逻辑的基础之上构造出全部经典数学，而后者希望为经典数学找到一个完备的形式系统作为基础，并在有穷主义数学（finitary mathematics）中证明该基础是无矛盾的。当然，这两种努力都失败了。表面上是因为罗素悖论（Russell’s paradox）和哥德尔不完备性定理的发现，实质上，无论逻辑主义还是形式主义框架下的数学工作都不足以解决基础问题。无论是逻辑主义的立足点——纯逻辑，还是形式主义的有穷主义数学，都仍然需要一个辩护，并且也还不足以覆盖全部经典数学。面对这些困扰，实际工作着的数学家们不再谋求对他们的基础（如ZFC）本身的辩护；或将辩护诉诸实用——无论是在物理学等经验科学中的实用还是在数学研究本身中的实用。此即新形式主义。

新形式主义实质是寻求数学自治（autonomy）与所谓“哲学最后原则”（philosophy-last-if-at-all principle，Shapiro，2000，p.14）的结合。数学家们显然不会喜欢蒯因和普特南的不可或缺性论证（indispensability argument）。后者仅仅因为数学是科学研究不可或缺的工具而接受它，即数学研究必须依附科学研究而获得其意义，这与数学自治的原则相悖。同样，自称自然主义者的麦蒂（Maddy，Penelope）则坚持数学在方法论上的自治：

正如蒯因坚持，科学“不用回应超科学的审判，且不需要任何超过观察和假设—演绎方法的辩护”……数学的自然主义者补充道，数学不用回应任何数学之外的审判，且不需要任何超过证明和公理化方法的辩护。（Maddy，1997，p.184）

麦蒂的说法自然更受数学家们的欢迎，但在理论上更难自洽。例如，她不认为数学新公理的选择需要来自哲学的辩护，而哲学上对新公理的意义的解释则要服务于自然科学的需要。因此，要寻求极端的数学自治并避免哲学上的困难，只能将数学实践与关于数学工作的解释割裂开来。然而，稍微深入的思考会发现，这种割裂恐怕比放弃所谓数学自治更让人难以接受。

ZFC是一个递归的公理集，它的推论构成一个递归可枚举的（recursively enumerable，见2.1.1小节）公式集，即我们可以编一个计算机程序来枚举ZFC的所有推论。尽管这将是一个无穷的过程，但ZFC的每个推论终有一天会被发现。按照新形式主义对数学的理解，全部数学家的工作无非就是这样一个程序的运行。大概数学家们不会乐于接受这个推论，但要赋予数学除此以外的意义，就仍然必须面对“为什么是ZFC这个程序？”这样的问题。