然而，自20世纪中叶以后，分析哲学与数理逻辑似乎分道扬镳了，类似的交叉成果鲜有出现。蒯因（Quine，Willard Van Orman）的逻辑学工作在当代数理逻辑学界几乎没有影响。^[24]普特南（Putnam，Hilary）参与证明了MRDP定理，但这基本上被认为是一个纯数学的结果，哲学上的影响很小。

MRDP定理

MRDP定理解决了希尔伯特第十问题。希尔伯特第十问题要求寻找一个算法来判定给定的丢番图方程（Diophantine equation）是否有解。丢番图方程是一种整系数多项式方程，含有一个或多个未知数，未知数的解也必须是整数。例如，x2+y2=z2有无穷多解，费马（Fermat，Pierre de）在1637年猜测（并声称证明了），对任意整数n＞2，xn+yn=zn没有非平凡的整数解，怀尔斯（Wiles，Andrew）在357年后证明了这点。希尔伯特希望找到一个能行的算法，输入任何一个丢番图方程，它都能在有穷步内正确返回该方程是否有整数解。

在哥德尔不完备性定理和图灵等人发现存在可定义而不可计算的函数后，人们就开始预期希尔伯特第十问题可能有否定解。因此，普特南等人的结论并不令人意外，它在哲学界产生的影响也远不如之前的两个结果。

克里普克（Kripke，Saul）关于模态逻辑语义的工作可能是唯一的例外。在此之前，由刘易斯出于对实质蕴涵的不满而开创的那种非经典逻辑（见第8页1.1.3小节）经哥德尔的发展（Gödel，1933）在语法上已基本呈现为当代形态。由此逐渐形成了我们今天所熟悉的各种模态逻辑公理系统。

哥德尔模态逻辑公理系统

哥德尔将模态词从命题演算中分离出来。例如，pq变成了□（p→q）^[25]，并且给出了现代版本的S4公理系统，其中包括命题演算的公理和推演规则、关于模态词的公理：

以及必然化规则：由p可证，可得□p可证。(www.daowen.com)

并且，人们逐渐意识到模态逻辑可以被用于分析各种“二阶”哲学概念。只是，在塔斯基给出一阶逻辑的语义三十年之后，类似的模态逻辑语义仍付之阙如。当然，在克里普克之前，模态逻辑的代数语义学已经有一定的发展，只是代数语义被认为本质上是模态逻辑语法的伪装，而且缺乏直观。克里普克在（Kripke，1963）中完整给出了现代版本的可能世界（关系结构）语义学，这使得模态逻辑得以成为某种意义上经典的非经典逻辑，并且被广泛应用于对证明、认知、道义、时间等哲学概念的分析。

不过，克里普克的工作在数学上还是相对平凡的。事实上，荣松（Jónsson，Bjarni）和塔斯基的工作（Jónsson and Tarski，1951）（Jónsson and Tarski，1952）从某种意义上已经暗示了关系结构语义学（relational semantics）的完备性定理。尽管如此，克里普克的工作再一次向我们展示了将形式化工具运用于哲学研究的力量。

然而，更普遍的现象是，数理逻辑在分析哲学界逐渐被遗忘。塞尔（Searle，John）关于美国分析哲学现状的一份报告（Searle，1991）甚至涵盖了罗尔斯（Rawls，John）的政治哲学，却“对逻辑学的纯技术工作没什么可说的”。有些忽略甚至是有意的。普勒斯顿（Preston，Aaron）在对分析哲学史的反思中说道：“上个世纪在形式系统上的投入获得的产出太小，以至于没有理由继续这种程度的投入。”（Preston，2007，p.23）

与此同时，随着公理化集合论，尤其是策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo–Fraenkel set theory，缩写为ZFC）的成功（ZFC系统在实践上被数学家普遍接受为他们工作的基础），越来越多的数学家、逻辑学家甚至集合论学家选择拥抱形式主义（formalism）。正如谢拉（Shelah，Saharon）在（Shelah，1993）中的自白：“证明定理的意思就是在ZFC中证明它。”即使哥德尔不完备性定理逐渐为主流数学界所理解也没能减缓这个趋势，因为这是一种比希尔伯特更朴素的形式主义，它把数学归为ZFC却并不诉求对于ZFC本身的辩护。

在笔者看来，分析哲学与数理逻辑的分道扬镳带来了一系列有趣的问题。到底是哪些因素造成了两者的分离？这一现象的背后是否有人为的推动，抑或纯粹是历史的偶然？如果是人为的推动，其背后是否有严肃的学理上的考量以支持两者摆脱彼此的束缚各自发展？这些考量是否充分，其依据是否有效？如果是一系列偶然事件造成了分离的现状，这些情况是否可以避免，抑或早晚会发生？

要找寻造成分析哲学与数理逻辑从共同起源到分道扬镳这一状态变化的原因，首先能做的是去寻找具有相关性的变化。回顾分析哲学简短的历史不难注意到，在差不多同一时期（20世纪中叶），日常语言哲学（ordinary language philosophy）兴起，语言学转向（linguistic turn）被广泛接受为分析哲学运动的主要内涵，而盛行于当代的自然主义（naturalism）也是从那个时候崛起的。而在数理逻辑方面，那个时期最有影响的成果无疑是连续统假设（continuum hypothesis）独立性的证明。以下，笔者试图分析这些线索的相关性以及可能的内在联系。