弗雷格（Frege，Gottlob）一直以来被认为是现代逻辑的奠基人。弗雷格对现代逻辑的主要贡献是指他在其早期的小册子《概念文字》（Begriffsschrift，Frege，1879）中所勾勒并最终在其两卷本《算术基本法则》（Grundgesetze der Arithmetik，Frege，1893/1903）成型的形式化的谓词逻辑。事实上，逻辑学形式化的工作在弗雷格之前已经有一定的突破。德摩根（De Morgan，Augustus）在《形式逻辑》（Formal Logic，De Morgan，1847）中已尝试引入专门的符号来展示逻辑规律。而布尔（Boole，George）更是早在《逻辑的数学分析》（The Mathematical Analysis of Logic，Boole，1847）中就已经把逻辑作为一种数学对象进行研究，即把命题逻辑刻画为一种代数。弗雷格工作的特别之处在于“使用自变量（argument）和函数（function）分别代替主词（subject）与谓词（predicate）”（Frege，1879）来分析命题内部的结构。由此，弗雷格把逻辑学家从亚里士多德（Aristotle）以来对主词谓词严格区分的要求中解放了出来（布尔等人关于命题逻辑的工作并不涉及命题内部结构），数理逻辑与分析哲学的其他工作，如数理逻辑基于量词（quantifier）对无穷和复杂性的刻画、罗素（Russell，Bertrand）的摹状词理论（description theory）等才得以可能。

在弗雷格逻辑中，每个函数符号都伴随固定的占位符（placeholder），又称作自变量符号。如加法符号（）+（）有两个占位符。它是一个不完全的表达式，它可以和两个（或一对）单名（simple name），如1和2组成一个完整的表达式，即词项（term）1+2。正如单名可以指称具体的对象，一个完整的表达式也可以指称一个具体的对象。

在弗雷格看来，句子（或命题）也是一种词项。一个初始命题可能有如下形式：Φ（a）。这里，Φ（）是带有一个自变量的函数符号，指称一个命题函数；a是一个单名，指称一个恰当的对象；该命题函数运用于该对象得到一个唯一的值，非“真”即“假”，即真值（truth value）。上面这种以真值为值的函数如果只有一个自变量，那就是概念（concept）。^[5]命题的复合也被统一使用函数和自变量来刻画。例如，（）指称这样一个函数，它把真映射为假，把其他输入映射为真。而

指称的函数把第一个为真第二个不为真的一对值映射为假，而把其他值映射为真。按照现代术语，前者是否定这个逻辑运算所对应的真值函数，而后者正是实质蕴涵（material implication）所对应的真值函数。我们现在通常分别使用¬和→来表示否定和蕴涵，从而避免了二维的书写。更有趣的是，弗雷格引入了我们现在称作量词符号的函数符号：

指的是某种“二阶”函数，它运用于某个“一阶”函数（即概念）Φ得到的是（现在通常写作∀aΦ（a））。如果Φ是把所有对象映射为真的函数，那么就为真，否则为假。此外，值得一提的是，弗雷格用表示断言两个函数（概念）Φ与Ψ相等的判断，并且还可以用表示对象a和b落在相同的那些概念下。可以看到，弗雷格逻辑对“阶”的区分并不敏感。

弗雷格的形式系统与今天的（希尔伯特）系统已十分接近。在《概念文字》中，他挑选了九条核心法则（即公理，分别刻画了否定、蕴涵、全称量词和等词），并通过运用分离（modus ponens）等规则得出了更多逻辑法则。弗雷格意识到，自己设定的形式系统并非唯一可能的，他也意识到完备性问题，只是并没意识到这是一个有解的问题。^[6]

考虑到有无限多的【逻辑】法则可以被阐明，我们无法把它们全部列出。除非把那些以其自身力量包含所有法则的法则全部搜寻出来，否则我们无法达到完备性。现在必须承认，下面这种方式并不是完成演绎推理的唯一方式。（Frege，1879，p.29）

弗雷格在对比《概念文字》与布尔的工作时坦言：“我的意图并不是用公式表示一个抽象的逻辑，而是通过书写符号以【日常语言】语词无法达到的精确性来表达内容。”（Frege，1882）弗雷格想创造的不仅仅是calculus ratiocinator（计算推理），而是“莱布尼茨（Leibniz，Gottfried Wilhelm）意义上的lingua characterica（语言文字）”。弗雷格自觉地将自己的工作看作是莱布尼茨通用文字（characteristica universalis）纲领的部分实现。

莱布尼茨……他关于通用文字或者哲学演算（calculus philosophicus）或推理（ratiocinator）的想法太过庞大……即使这是一个有价值的目标，它也无法一步就达到。我们无需为一个缓慢而步步为营的迫近而感到失望。当一个问题看似无法以其最一般的形态得到解决时，可以暂时做个限定；或许它可以靠渐进的方式来征服。算术、几何、化学中的符号可以被看作是莱布尼茨的想法在特定领域的实现。而这里所给出的概念文字又增加了一个领域，实际上是一个中心领域，与其他所有领域相连。（Frege，1879，p.6）

当代分析哲学家在回顾其历史时一般认为，弗雷格为了将数学奠基于逻辑之上而创造了概念文字，而弗雷格所发明的工具恰巧为分析哲学的诞生创造了条件。但弗雷格本人其实有更长远的哲学抱负。他创造概念文字的目标是为了摆脱日常语言造成的各种误解，更精确地表达各个领域的思想内容，不仅仅是算术，也包括自然科学甚至哲学。这是一项基于某种哲学立场的哲学志业。今天看来，弗雷格为现代数理逻辑奠基的工作无论以其动机还是影响而言，都是一项典型的哲学工作，并且的确如其所期望的那样“经受住了时间的检验”（Frege，1879，p.7）。

达米特（Dummett，Michael）在《分析哲学的起源》（Origins of Analytical Philosophy，Dummett，1996）中重新发现了弗雷格并将其奉为分析哲学真正的奠基人。然而，他的主要依据并非概念文字的创造，而是弗雷格在《算术基础》（Die Grundlagen der Arithmetik，Frege，1884）中提出并实践的语境原则（context principle）。

前文中提到，弗雷格主要工作的目标是最终将数学建立在逻辑这个基础之上。该目标预期由两卷本的《算术基本法则》（Frege，1903）最终实现。而其主要的思想与方法在《算术基础》（Frege，1884）这本小册子中就已经基本成形了。

《算术基础》的主题是“（自然）数”这个概念，目的是把“数”概念建立在更清晰的逻辑概念之上。从这本小册子目录的一部分我们就能清晰地看出一套典型的层层推进的概念分析过程。

II一些著作家关于数概念的观点

–数是外部事物的属性吗？(www.daowen.com)

–数是某种主观的东西吗？

–数的集合论^[7]

III关于单位和一的看法

–数量词“一”是不是表达了对象的一个属性？

–单位是不是彼此相同？

–克服这些困难的尝试

–困难的解决

IV数这个概念

–每个单独的数都是一个自存的对象

–为了得到数这个概念，我们必须明确等数的意义

–我们的定义是完整的且被证明是有意义的

显然，弗雷格论证的总体思路是先给出一系列对于“数”概念的可能的解释（外部事物的属性、主观的东西、事物的聚集），接着指出这些解释面临的困难，然后给出可能的改良（数是单位的集合），并再次指出改良后仍然存在的问题，如此往复，最后提出自己的解决方案并说明它能解决所有已知问题。

为了指出其他对“数”概念的解释所面临的问题，弗雷格贯彻了他的“语境原则”。例如，在论证数不是外部事物的属性时，弗雷格给出了几则具体的涉及“数”概念的命题。我们可以说一棵树“有1000树叶”，也可以说“绿色的树叶”。但当我们取出一片树叶，它依然有“绿”这个属性，却不太能说它有“1000”这个属性。因而，显然“1000”与“绿”这样的属性有本质的不同。^[8]再如，面对桌上的一堆牌，我们理应可以问它们的属性，但问“这些牌的数”是什么却让人感到所指不明。它可以指牌的张数，也可以指它们的分数之和，等等。限于篇幅，笔者不再举更多的例子。读者应该能看出，所谓“语境原则”就是指在考察一个概念或表达方式时列举它们可能的使用场景（它们在其中出现的命题）并将备选的解释代入其中，看看所得到的命题是否仍然保持原意或会否产生明显的怪论。理想的解释应该能顺利地运用于各种场景。^[9]

弗雷格最后给出的答案是将数解释为由概念组成的在概念的“等数”这个等价关系下的诸等价类。今天看来，弗雷格实际上将算术建立在了一种关于概念的二阶逻辑（其中一阶变元遍历个体，二阶变元遍历概念）之上，而这个基础是不一致的。公正地说，弗雷格的失败是偶然的，从某种意义上也是可修正的。重要的是，他所使用的研究方式，经过罗素的发展与宣传，逐渐成为早期分析哲学的“典范”。