例9.1　某试验室对钢锭模进行选材试验.其方法是将试件加热到700 ℃后，投入20 ℃的水中急冷，这样反复进行到试件断裂为止，试验次数越多，试件质量越好.试验结果见表9.1.

表9.1

续表

试验的目的是确定4 种生铁试件的抗热疲劳性能是否有显著差异.这里，试验的指标是钢锭模的热疲劳值，钢锭模的材质是因素，4 种不同的材质表示钢锭模的4 个水平，这项试验称为4 水平单因素试验.

例9.2　考察一种人造纤维在不同温度的水中浸泡后的缩水率，在40 ℃，50 ℃，…，90 ℃的水中分别进行4 次试验.得到该种纤维在每次试验中的缩水率如表9.2.试问浸泡水的温度对缩水率有无显著的影响？

表9.2

这里试验指标是人造纤维的缩水率，温度是因素，这项试验为6 水平单因素试验.

单因素试验的一般数学模型为：因素A 有s 个水平A1，A2，…，As，在水平Aj（j=1，2，…，s）下进行nj（nj≥2）次独立试验，得到表9.3 的结果：

表9.3

假定各水平Aj（j=1，2，…，s）下的样本xij ~N（μj，σ2），i=1，2，…，nj，j=1，2，…，s 且相互独立，故xij-μj 可看成随机误差，它们是试验中无法控制的各种因素所引起的.记xij-μj=εij，则(www.daowen.com)

其中μj 与σ2 均为未知参数.上式称为单因素试验方差分析的数学模型.方差分析的任务是对于上述数学模型，检验s 个总体N（μ1，σ2），…，N（μs，σ2）的均值是否相等，即检验假设

为将上述问题写成便于讨论的形式，采用记号

其中n=，μ 表示μ1，μ2，…，μs 的加权平均，μ 称为总平均.

δj 表示水平Aj 下的总体平均值与总平均的差异.习惯上将δj 称为水平Aj 的效应.利用这些记号，单因素试验方差分析的模型可改写成

xij可分解成总平均、水平Aj 的效应及随机误差三部分之和，由δj 的定义及单因素测试方差分析的数学模型，显然有

若因素水平的改变不影响总体，即Aj 下总体Xj ~μ（μ+δj，δ2）的均值都相等，则δj（j=1，2，…，s）都等于0.反之，则总有δj 不等于0，因此各水平Aj 对总体的影响可以用效应δj 来表示.从而单因素试验方差分析的假设等价于假设