(1)σ2 已知,关于μ 的假设检验[U 检验法(U-test)]
设总体X~N(μ,σ2),方差σ2 已知,检验假设
由
我们选取
作为此假设检验的统计量,显然当假设H0 为真(即μ=μ0 正确)时,Z ~N(0,1),所以对于给定的显著性水平α,可求使
如图8.1 所示,即
从而有
图8.1
利用概率1-,反查标准正态分布函数表,得上α 分位点(即临界值)及上1-分位点(即临界值)-.
另一方面,利用样本观察值x1,x2,…,xn 计算统计量Z 的观察值
如果:①,则在显著性水平α 下,拒绝原假设H0(接受备择假设H1),所以便是H0 的拒绝域.
②,则在显著性水平α 下,接受原假设H0,认为H0 正确.
这里我们是利用H0 为真时服从N(0,1)分布的统计量Z 来确定拒绝域的,这种检验法称为U 检验法(或称Z 检验法).例8.1 中所用的方法就是U 检验法.为了熟悉这类假设检验的具体做法,现在我们再举两例.
例8.2 在正常情况下,茅台酒厂某车间使用灌装机生产的茅台酒容量服从N(500,1),某天计量检验人员随机抽取10 瓶酒,算得平均重量499.3 mL,问这天机器是否正常?
解 ①提出假设.
②检验统计量.
③H0 的拒绝域.给定α=0.05,C:=z0.025=1.96.
④取样判定.Z=
故拒绝H0,即这天机器工作不正常.
例8.3 根据长期经验和资料的分析,某砖厂生产的砖的“抗断强度”X 服从正态分布,方差σ2=1.21.从该厂产品中随机抽取6 块,测得抗断强度如下(单位:kg·cm -2):
检验这批砖的平均抗断强度为32.50 kg·cm -2是否成立(取α=0.05,并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化)?
解 ①提出假设.
②选取统计量
若H0 为真,则Z~N(0,1).
③对给定的显著性水平α=0.05,求使
这里=z0.025=1.96.
④计算统计量Z 的观察值
⑤判断:由于=3.05 >z0.025=1.96,所以在显著性水平α=0.05 下否定H0,即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50 kg·cm -2.
把上面的检验过程加以概括,得到了关于方差已知的正态总体期望值μ 的检验步骤:
①提出待检验的假设H0:μ=μ0.H1:μ≠μ0.
②构造统计量Z,并计算其观察值z0:
③对给定的显著性水平α,根据
查标准正态分布表,得双侧α 分位点.
④做出判断:根据H0 的拒绝域
若,则拒绝H0,接受H1.
若,则接受H0.
(2)方差σ2 未知,检验μ (t 检验法(t-test))
设总体X~N(μ,σ2),方差σ2 未知,检验
由于σ2 未知,便不是统计量,这时我们自然想到用σ2 的无偏估计量——样本方差S2 代替σ2,由于
故选取样本的函数
作为统计量,当H0 为真(μ=μ0)时t~t(n-1),对给定的检验显著性水平α,由
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如图8.2 所示,直接查t 分布表,得t 分布分位点(n-1),也称双侧α 分点.
图8.2
利用样本观察值,计算统计量t 的观察值
因而原假设H0 的拒绝域为
所以,若(n-1),则拒绝H0,接受H1.若(n-1),则接受原假设H0.
上述利用t 统计量得出的检验法称为t 检验法.在实际中,正态总体的方差常为未知,所以我们常用t 检验法来检验关于正态总体均值的问题.
例8.4 设检查某地区新生男婴的体重X 近似服从正态分布,μ,σ 均未知,样本数据选择随机抽取100 个男婴,样本均值为3 350,样本方差为559,在显著性水平α=0.05 下,能否认为该地区男婴体重达到了《世界卫生组织婴儿体重标准》标准体重3 300 g?
解 总体X~N(μ,σ2),μ,σ2 未知.
①H0:μ=μ0=3 300;H1:μ≠μ0.
②检验统计量t=,H0 为真时,t~t(99).
③H0 的拒绝域 给定α=0.05,(99)=1.96.
④取样判定=0.894 <1.96.
观察值没有落入拒绝域,故接受H0.
例8.5 用某仪器间接测量温度,重复5 次,所得的数据是
而用别的精确办法测得温度为1 277°(可看作温度的真值),试问此仪器间接测量有无系统偏差?这里假设测量值X 服从N(μ,σ2)分布.
解 问题是要检验
由于σ2 未知(即仪器的精度不知道),选取统计量
当H0 为真时,t~t(n-1),t 的观察值为
对于给定的检验水平α=0.05,由
查t 分布表得双侧α 分位点
因为>3 >t0.025(4)=2.776,故应拒绝H0,认为该仪器间接测量有系统偏差.
(3)双边检验与单边检验
上面讨论的假设检验中,H0 为μ=μ0,而备择假设H1:μ≠μ0 意思是μ 可能大于μ0,也可能小于μ0,称为双边备择假设,而称形如H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0 的假设检验为双边检验.有时只关心总体均值是否增大,例如,试验新工艺以提高材料的强度,这时所考虑的总体的均值应该越大越好,如果能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的大,则可考虑采用新工艺.此时,需要检验假设
(在这里做了新工艺不可能比旧的更差的假定),形如上式的假设检验,称为右边检验,类似地,有时我们需要检验假设
形如上式的假设检验,称为左边检验,右边检验与左边检验统称为单边检验.
下面来讨论单边检验的拒绝域.
设总体X~N(μ,σ2),σ2 为已知,x1,x2,…,xn 是来自X 的样本观察值.给定显著性水平α,先求检验问题
的拒绝域.
取检验统计量Z=,当H0 为真时,Z 不应太大,而在H1 为真时,由于是μ 的无偏估计,当μ 偏大时,也偏大,从而Z 往往偏大,因此拒绝域的形式为
因为当H0 为真时,~N(0,1),由
得k=zα,故拒绝域为
类似地,左边检验问题
的拒绝域为
例8.6 从甲地发送一个信号到乙地,设发送的信号值为μ,由于信号传送时有噪声叠加到信号上,这个噪声是随机的,它服从正态分布N(0,22),从而乙地接到的信号值是一个服从正态分布N(μ,22)的随机变量.设甲地发送某信号5 次,乙地收到的信号值为
由以往经验可知,信号值为8,于是乙方猜测甲地发送的信号值为8,能否接受这种猜测?取α=0.05.
解 按题意需检验假设
这是右边检验问题,其拒绝域为
而现在
所以拒绝H0,认为发出的信号值μ>8.
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