（1）单个正态总体的情形

设正态总体为X，它服从正态分布N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn 为来自总体X 的样本.

1）均值μ 的置信区间

①σ2 已知，μ 的置信区间.

引入随机变量U=，则U~N（0，1）.由

查附表3 得.因此

二维码7.3　袋装食品质量问题

故μ 的置信度1-α 的置信区间为

例7.17　已知一批灯泡的使用寿命X 服从正态分布N（μ，302），从中任抽9 只检验，测得它们的平均寿命=1 435 h，试求该批灯泡的使用寿命的置信度为0.95 的置信区间.

解　由题意知，σ=30，=1 435，n=9，1-α=0.95.选取统计量

查附表3 得z0.025=1.96，故μ 的置信度为0.95 的置信区间为

即该批灯泡的使用寿命的置信度为0.95 的置信区间（1 415.4，1 454.6）.

例7.18　假设参加某种寿险投保人的年龄服从正态分布，标准差σ=7.77 岁.从中抽取36 人组成一个简单随机样本（不重复抽样），其平均年龄为39.5 岁，试建立投保人平均年龄μ的置信度为90%的置信区间.

解　假设用随机变量X 表示某种寿险投保人的年龄，则由已知条件有

于是可以说有90%的把握确信寿险投保人总体的平均年龄介于（37.37，41.63）.

例7.19　2013 年6 月中粮集团对某子公司进行审核，已知发票金额近似服从N（μ，292），现从中抽取100 张作为样本，经过计算样本均值=110.27 元，样本标准差为s=28.95 元，试在95%的置信水平下，求μ 的置信区间.

解　假设用随机变量X 表示发票金额，则由已知条件有

即μ 的置信区间为（104.59，115.95）.

②σ2 未知，μ 的置信区间.

引入随机变量

对于给定的α，有

即

由

有

二维码7.4　新生儿体重估计问题

故μ 的置信度为1-α 的置信区间为

例7.20　从一批钢管中随机抽取10 根，测得其直径尺寸与标准尺寸之间的偏差（单位：mm）分别为

已知钢管直径尺寸的偏差是一随机变量，记为X，且X ~N（μ，σ2），试求μ 的置信度为1-α=0.90 的置信区间.

解　由题意知，n=10，α=0.1，=2，S=，则

查分位数表得t0.05（n-1）=t0.05（9）=1.833.

因此μ 的置信度为0.90 的置信区间为

二维码7.5　居民服装消费

2）方差σ2 的置信区间

①μ 已知，σ2 的置信区间.

选取统计量

对于给定的α，有

故所求置信区间为

例7.21　某手表厂生产的飞达牌手表，它的走时误差X（单位：s/d）服从正态分布N（0.3，σ2），检验员从装配线上随机地抽取9 只装配好的手表进行测量，得结果如下：

取置信度为0.95，求这种手表走时误差的方差σ2 的置信区间.

解　由题意可得，μ=0.3，n=9，1-α=0.95.选取统计量

查分位数表得

由样本观测值计算，得

故手表走时误差σ2 的置信度为0.95 的置信区间为

②μ 未知，σ2 的置信区间.

选取统计量(www.daowen.com)

故σ2 的置信度为1-α 的置信区间为

例7.22　分别用金属球测定引力常数（单位：10 -11 m3kg -1s -2），设测定值总体近似服从正态分布N（μ，σ2），μ，σ2 均为未知.金属测定观察值为：

试在90%的置信水平下，求σ2 的置信区间.

解　由题意得

根据公式得，

即在90%的置信水平下，σ2 的置信区间为（2.71 ×10 -5，2.62 ×10 -4）.

例7.23　假设某厂生产的钢珠直径X（单位：mm）服从正态分布N（μ，σ2），现从该厂刚生产出的一大堆钢珠中随机地抽取9 粒，测量它们的直径，并求得其样本均值=31.06，样本方差为S2=0.252.试求总体方差的置信度为0.95 的置信区间.

解　由题设条件，可得

选取统计量

查分位数表可得（8）=2.18，故σ2 的置信度为0.95 的置信区间为（0.029，0.229）.

现将正态总体均值与方差的置信区间列于表7.4 中.

表7.4

续表

（2）两个正态总体的情形

设两个正态总体分别为X，Y，它们相互独立且X ~N（μ1，），Y ~N（μ2，），X1，X2，…，Xn1和Y1，Y2，…，Yn2分别为来自X 与Y 的样本，，分别为X，Y 的样本均值，， 分别为X，Y的样本（修正）方差.

1）两个正态总体的均值差μ1-μ2 的置信区间

①， 均已知，μ1-μ2 的置信区间.

选取统计量

故有μ1-μ2 的置信度为1-α 的置信区间为

例7.24　某食盐加工厂有甲、乙两条食盐装袋生产线，设所装袋的食盐质量分别服从正态分布N（μ1，52），N（μ2，42）.从甲装袋生产线抽取10 袋食盐，测得平均质量=501 g；从乙装袋生产线抽取20 袋食盐，测得平均质量=498 g.取置信度为99%，求甲、乙两条装袋线均值差的置信区间.

解　由题设条件可知

查标准正态分布表得=2.58.

由于， 均已知，可得，μ1-μ2 的置信度0.99 的置信区间为

可以推得μ1-μ2 的置信区间为

例7.25　某公司为了了解男女推销员的推销能力是否有差别，随机抽取16 名男推销员和15 名女推销员进行测试.男推销员的平均销售额为30 250 元，标准差为18 400 元，女推销员的平均销售额为33 750 元，标准差为13 500 元.假设男女推销员的销售额服从正态分布，且方差相等.试建立男女推销员销售额之差的95%的置信区间.

解　假设用随机变量X1，X2 分别表示男女推销员的销售额，则由已知条件有

又因两总体方差相等，可以估计出它们的共同方差

与置信度95%相对应的α=0.05，查附表5 得到

由=σ2，但σ 未知，可得，男女推销员销售额之差的95%的置信区间为

于是，有95%的把握认为男推销员的销售额即有可能比女推销员多6 568 元，也有可能比女推销员少13 568 元，所以男女推销员的推销能力没有显著差别.

例7.26　为了比较甲、乙两类试验田的药材生产的亩产量，现随机地抽取甲类试验田8亩，乙类试验田10 亩，测得亩产量见表7.5.

表7.5

假设这两类实验田的产量X 与Y 相互独立且都服从正态分布，且方差相同.求它们均值之差μ1-μ2 的置信度为0.95 的置信区间.

解　由题设条件，可知

查分位数表得（n1+n2-2）=t0.025（16）=2.12.

由=σ2，但σ 未知，可得μ1-μ2 的置信度0.95 的置信区间为（0.6，2.8）.

2）两个正态总体方差比的置信区间

选取统计量

例7.27　为了调查甲、乙两城市地区在1990 年的家庭家计情况，从甲市随机抽出500 户进行调查，得平均每户的年消费支出3 000 元，标准差为400 元.乙市随机抽取1 000 户，调查得平均每户年消费支出4 200 元，标准差500 元.假设甲、乙两城市的每户年消费支出X 和Y都服从正态分布且相互独立，试求甲、乙两城市家庭每户年消费支出方差比/ 的置信度0.90 的置信区间.

解　由题意知

可得的置信度0.90 的置信区间为

现将两个正态总体均值差和方差比的置信区间列于表7.6 中.

表7.6

表中k=tα（n1+n2-2），Sω=