对于未知参数θ，如果有两个无偏估计量 与，即E（）=E（）=θ，那么在， 中谁更好呢？此时自然希望对θ 的平均偏差E[（-θ）2]越小越好，即一个好的估计量应该有尽可能小的方差，这就是有效性.

定义7.3　设和 都是未知参数θ 的无偏估计，若对任意的参数θ，有

则称比 有效.

如果 比 有效，则虽然 还不是θ 的真值，但在θ 附近取值的密集程度较 高，即用估计θ 精度要高些.

例如，对正态总体X ~ N（μ，σ2），都是E（X）=μ 的无偏估计量，但

故较个别观测值Xi 有效.实际当中也是如此，比如要估计某个班学生的平均成绩，可用两种方法进行估计，一种是在该班任意抽一个同学，就以该同学的成绩作为全班的平均成绩.另一种方法是在该班抽取n 位同学，以这n 个同学的平均成绩作为全班的平均成绩，显然第二种方法比第一种方法好.

例7.14　设总体X ~N（μ，），其中μ 未知，X1，X2，X3 为X 的一个样本，试证明下列统计量：(www.daowen.com)

均为总体参数μ 的无偏估计量，并说明哪一个最有效.

解　因为X1，X2，X3 为X 的一个样本，所以

同理，可得E（）=μ，E（）=μ.

因此μ1，μ2，μ3 均为总体参数μ 的无偏估计量.

又

同理，可得，故 是3 个估计量中最有效的估计量.