矩法（moment method of estimation）是一种古老的估计方法.它是由英国统计学家卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）于1894 年首创的.它虽然古老，但目前仍常用.

矩法估计的一般原则是：用样本矩作为总体矩的估计，若不够良好，再作适当调整.

矩法的一般作法：设总体X 具有分布函数F（X；θ1，θ2，…，θl），其中θ1，θ2，…，θl 均未知.

①如果总体X 的k 阶矩μk=E（Xk）（1≤k≤l）均存在，则

②令

例7.1　设总体X 的密度函数为：

其中α 未知，样本为X1，X2，…，Xn，求参数α 的矩法估计.

例7.2　设X~N（μ，σ2），μ，σ2 未知，试用矩法对μ，σ2 进行估计.

解

例7.3　在某班期末数学考试成绩中随机抽取9 人的成绩.结果如表7.1 所示，试求该班数学成绩的平均分数、标准差的矩估计值.

表7.1

(www.daowen.com)

试求该班数学成绩的平均分数、标准差的矩估计值.

解　设X 为该班数学成绩，μ=E（X），σ2=D（X）.

由于E（X2）=D（X）+[E（X）]2=σ2+μ2，那么

所以，该班数学成绩的平均分数的矩估计值=75 分，标准差的矩估计值12.14.

例7.4　设某种罐头的净重X ~N（μ，σ2），其中μ，σ2 未知，现在随机抽取8 盒罐头，测得净重为（单位：g）：453 457 454 452.5 453.5 455 456 451，试估计总体罐头的净重.

解　由于是正态总体的均值和方差，故有

将样本的观测值代入上式，可计算得到

作矩法估计时无须知道总体的概率分布，只要知道总体矩即可.但矩法估计量有时不唯一，如总体X 服从参数为λ 的泊松分布时，和B2 都是参数λ 的矩法估计.

二维码7.1　
估计样稿的总错别字