正态分布在随机变量的各种分布中，占有特别重要的地位.在某些条件下，即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，它们的和的分布，当随机变量的个数无限增加时，也是趋于正态分布.在概率论里，把研究在什么条件下，大量独立随机变量的和的分布以正态分布为极限这一类定理称为中心极限定理.中心极限定理对于研究随机现象的统计规律性具有非常重要的地位和作用.对于中心极限定理，只需要记住这样一个描述就行：如果多个相互独立的随机变量相加，不管它们是离散的还是连续的或者是任何类型的，只要它们大小相差并不悬殊，则加起来以后得到的随机变量，就近似服从正态分布.首先，我们讨论多个相互独立且同分布的随机变量之和的极限分布定理（central limit theorem）.

定理5.5（独立同分布的中心极限定理）　设随机变量X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且数学期望和方差存在，即

即当n 足够大时，Y 近似的服从标准正态分布N（0，1）.

从定理5.5 的结论可知，当n 充分大时，近似地有Y 近似服从标准正态分布，即

二维码5.2　青旅床位预订问题

或者说，当n 充分大时，近似地有

如果用X1，X2，…，Xn，…表示相互独立的n 个随机因素，假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定的限度），则上述定理说明作为和式的这个随机变量，当n 充分大时，便近似地服从正态分布.

例5.4　用机器包装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋重量为500 g，标准差为10 g，一箱内装100 袋，求一箱机装食盐净重超过50 200 g 的概率.

解　设一箱机装食盐净重为X g，箱中第i（i=1，2，…，100）袋食盐净重为Xi g，显然X1，X2，…，X100为相互独立的随机变量，且

故一箱机装食盐净重超过50 200 g 的概率为0.022 75.

例5.5　某市政府经过统计调查发现，该市郊区范围每一户家庭平均年收入为23 160 元，标准差为3 800 元.从该市郊区家庭中随机抽取100 户进行样本分析，试求每一户家庭平均年收入在22 000 ~24 000 元的概率.

解　尽管不知道总体是否服从正态分布，但n=100 >30，可以视为大样本.

由中心极限定理可得，样本均值x 服从正态分布，即统计量z=近似服从标准正态分布.

所以，每一户家庭平均年收入在22 000 ~24 000 元的概率为0.985 3，可以看出这个概率是很大的.

在数理统计中我们将看到，中心极限定理是大样本统计推断的理论基础.

下面介绍另一个中心极限定理.

定理5.6　设随机变量X~B（n，p），则

①（拉普拉斯定理）局部极限定理：当n→∞时，

二维码5.3　航空公司竞争问题

其中p+q=1，k=0，1，2，…，n，Φ（x）=

②（棣莫弗-拉普拉斯定理）积分极限定理：当n→∞时

例5.6　已知某厂生产的某产品中一等品的概率为0.8，现从该厂生产的大量该产品中随机地抽取10 000 件.求(www.daowen.com)

①一等品不超过7 960 件的概率.

②一等品在7 940 ~8 040 件的概率.

解　以X 表示取出的10 000 件该产品中一等品的件数，则由题意得X~B（10 000，0.8），

由棣莫弗-拉普拉斯定理，得

故一等品不超过7 960 件的概率为0.158 7，在7 940 ~8 040 件的概率为0.774 5.

例5.7　某单位内部有260 台电话分机，每台分机有4%的时间需用外线通话，每台分机是否需用外线相互独立.问该单位总机需安装多少条外线才能以95%的把握保证各分机需用外线时畅通.

解　设该单位的260 台电话分机中，同时使用外线的分机数为X，x 为满足题设条件的外线数，则由题意得X~B（260，0.04）.所以

由定理5.6，得

查标准正态分布表，知Φ（1.65）=0.950 53，因此应取≥1.65，

即

因此，满足题设条件的外线数至少为16 条.

例5.8　一名乒乓球运动员在体校进行为期2 个月的训练.在发球练习环节，已知每发一个球到指定落点的可能性为p=，若运动员在两个月内共完成了90 000 次发球，问其中有29 500 ~30 500 次发到指定落点的概率是多少？

解　将运动员的每一次发球看作一个事件，且每个事件发生是互不相关的.将在90 000次发球练习中发到指定落点的次数记为X，则X 是一个随机变量，且有其分布律为

若按照该思路继续对这个二项式进行计算，显然是很困难.此时，运用中心极限定理来求它的近似值，即有

例5.9　设电站供电所有10 000 盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6 800 ~7 200 的概率.

解　开着的灯数X~B（10 000，0.7），np=7 000，≈45.83，则

例5.10　在人寿保险公司有3 000 个同一年龄的人参加了某种人寿保险，在一年中，这些人的死亡率为0.1%.假设参加保险的人在一年中的第一天交付保险费10 元，死亡时家属可以从保险公司领取2 000 元，求保险公司一年中在这3 000 人的保险中获利不小于10 000 元的概率.

解　设一年中这批年龄的人中死亡人数为X，则由题意得X~B（3 000，0.001），又因为保险公司的年初收入为3 000 ×10=30 000 元，赔付2 000X 元，所以由题意可知，

二维码5.4　军事演习问题

故保险公司一年中从该年龄人的保险中获利不小于10 000 元的概率为0.96.