定理4.1（随机变量函数的数学期望）　设Y 是随机变量X 的函数Y=g（X）（g 是连续函数）

①X 是离散型随机变量，它的分布律为P{X=xi}=pi，i=1，2，…，若收敛，则有

②X 是连续型随机变量，它的概率密度为f（x），若收敛，则有

定理4.1 的重要意义在于，当我们求E（Y）时，不必知道Y 的分布而只需知道X 的分布就可以了.当然，我们也可以由已知的X 的分布，先求出其函数g（X）的分布，再根据数学期望的定义去求E[g（X）].然而，有时候Y=g（X）的分布是不容易求出的，所以一般不采用后一种方法.

定理4.1 的证明超出了本书的范围，这里不予证明.

定理4.2　设Z 是随机变量X，Y 的函数，则Z=g（X，Y）（g 是连续函数）.

①若（X，Y）为离散型随机变量，其分布律为P{X=xi，Y=yj}=pij，i，j=1，2，…，则有

这里设上式右边的级数绝对收敛.

②若（X，Y）为连续型随机变量，其联合概率密度为f（x，y），则有

这里设上式右边的积分绝对收敛.

特别地，设（X，Y）是二维连续型随机变量，其概率密度函数为f（x，y），则(www.daowen.com)

例4.5　设随机变量X 的分布律如表4.6 所示.

表4.6

求E（X2），E（-2X+1）.

例4.6　设X~N（1，4），

求E（Y）.

解　方法一：直接根据随机变量的函数求期望的公式求解.

设X 的密度函数为f（x），则

方法二：先求出Y 的分布列