（1）数学期望的定义

定义4.2　设连续型随机变量X 具有概率密度f（x），如果绝对收敛，则称它为X 的数学期望（或均值），以下简称期望，记作E（X）.即

注　①定义还要求该无穷积分绝对收敛，即要求

②对于随机变量数学期望的一般定义，由于涉及较多的函数论知识，本书不予讨论.但是作为形式记号，在这里作点介绍.我们可以将其统一为

例4.3　连续型随机变量X 的概率密度为

又知，E（X）=0.75，求k 和a 的值.

解　由=1，得

即k=a+1.

又知

得k=0.75a+1.5.

由此可解得

例4.4　某种电子元件的使用寿命X 是随机变量，其概率密度为

若规定使用寿命在500 h 以下为废品，产值为0 元.在500 ~1 000 h 为次品，产值为10 元.在1 000 ~1 500 h 为二等品，产值为30 元.1 500 h 以上者为一等品，产值为40 元，求该种产品的平均产值.

解　设该种产品的产值为Y 元，Y 可取的值为0，10，30，40，且

类似地，P{Y=30}=e -1-e -1.5，P{Y=40}=e -1.5.从而(www.daowen.com)

（2）常用连续型分布的数学期望

1）均匀分布

设随机变量X 服从区间[a，b]上的均匀分布，其概率密度为

二维码4.3　细菌繁殖问题

则X 的数学期望为

即数学期望位于区间[a，b]的中点.这与期望的原意（随机变量取值的平均）相符.

2）指数分布

设X 服从参数为λ 指数分布，其概率密度函数为

3）正态分布

设X~N（μ，σ2），概率密度为

由数学期望的定义可知，

说明　对于正态分布N（μ，σ2）的参数μ，在第3章中已指出，它的几何意义是，概率密度函数以x=μ 为对称轴.这里又给出了它的概率的意义，即μ 是该随机变量取值的平均.其实从均值的定义不难看出，这是具有一般性的.即若某概率密度函数以x=c 为对称轴，则其均值（如果它存在）必为c.

在实际问题与理论研究中，我们经常需要求随机变量函数的数学期望.这时，我们可以通过下面的定理来实现.