（1）数学期望的定义

设随机变量X 的分布律为P（X=xi）=pi，i=1，2，…，我们希望能找到这样一个数值（仅仅是“一个数值”），它体现了X 取值的平均大小，就如同通常一组数字的平均数那样.在引入数学期望的概念之前，先看一个例子.

对于一组数，比如-1.1，1.9，0.2，0.5，0.5，它们的平均数是

可是，对一个随机变量X 而言，只是一种算术平均，并不能真正起到平均的作用.

例如，若X 的分布律如表4.1 所示X 取值的平均数是150，但150 并不能真正体现X 的真实均值，这是因为错误的认为X 取100与200 的概率是一样的.但实际上，从分布看来，X 取200 比取100 的概率大得多，因此要体现X 的真实均值，不能只由它取什么值来决定，必须考虑到它取那些值对应的概率.

表4.1

定义4.1　设离散型随机变量X 的分布律为P{X=xi}=pi，i=1，2，….若正项级数绝对收敛，则称之为随机变量X 的数学期望（mathematical expectation），以下简称期望，记作E（X）.即

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注　定义中要求该级数绝对收敛，是为了保证该级数的值不受求和过程中各项次序的影响.

显然，E（X）是一个实数.它形式上是随机变量X 的取值以概率为权的加权平均值，实质上它体现了随机变量X 取值的真正平均.为此，我们也称它为X 的均值.

对于上面提到的那个例子，就有E（X）=100 ×0.01+200 ×0.99=199，它与200 非常靠近，而远不是150.

例4.1（经济决策问题）　某企业需要是否与一家外企联营做出决策，经过调查做出评估，联营成功的概率为0.35，若联营成功可增加利润50 万元/月.若联营失败将损失20 万元/月.若不联营利润不变，企业该如何决策？

解　用X 表示选择联营能增加的利润值，则X 的概率分布为

所以，选择联营能增肌的利润期望值为

若不联营，该企业增加的利润为0.

因此，该企业应该作出联营的决策.

例4.2　设某车站每天8：00—9：00，9：00—10：00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律见表4.2.

表4.2

①有一旅客8：00 到车站，求他候车时间的数学期望；

②有一旅客8：20 到车站，求他候车时间的数学期望.

解　设旅客的候车时间为X 分布律.

①由题意可知，X 的分布律见表4.3.(www.daowen.com)

表4.3

则

②由题意可知，X 的分布律见表4.4.

表4.4

上表中概率的计算说明，如P{X=70}=P{AB}=P（A）P（B）=，A=“第一班车在8：10 到站”，B=“第二班车在9：30 到站”.则

（2）常用离散型分布的数学期望

1）0—1 分布

设X 服从参数为p 的0—1 分布（p>0），其概率函数见表4.5.

表4.5

由期望的定义公式计算得

2）二项分布

设X~B（n，p），其概率函数为

由期望的定义公式计算得

3）泊松分布

设X 服从参数为λ 的泊松分布，其分布律为

二维码4.2　求职面试问题

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