设（X，Y）为二维连续型随机向量，它们的联合概率密度为f（x，y），令g（x，y）是二元函数，则g（X，Y）是（X，Y）的函数.可以用求一元随机变量函数分布的方法，求Z=g（X，Y）的分布.首先求分布函数

二维码3.2　食堂窗口规划问题

其中，D={（x，y）g（x，y）≤z}.对几乎所有的z，有Z 的概率密度为

一般，我们有如下定理.

定理3.7　设f（x1，x2）是连续型随机向量（X1，X2）的联合概率密度，如果函数y1=g1（x1，x2），y2=g2（x1，x2）满足下列条件

①存在唯一的反函数x1=h1（y1，y2），x2=h2（y1，y2）.

②反函数存在连续的偏导数.

③反函数的雅可比（Jacobi）行列式

则Y1，Y2 的联合概率密度（Y1=g1（X1，X2），Y2=g2（X1，X2）），为

证　设W（y1，y2）为（y1，y2）的联合分布函数，则对任意的实数有

令t1=g1（x1，x2），t2=g2（x1，x2），由重积分的变量替换公式有

由密度函数的定义，有

例3.20　设f（x1，x2）是随机向量（X1，X2）的联合概率密度，令

试用f 表示Y1 和Y2 的联合概率密度.

解　令y1=x1+x2，y2=x1-x2，则反函数为

雅可比行列式为

由定理3.7 知，Y1 和Y2 的联合概率密度为

下面我们来讨论几个特殊函数的分布.

（1）和的分布

设X 和Y 的联合概率密度为f（x，y），则Z=X+Y 的密度为

证　为求和函数Z 的概率密度，先考虑Z 的分布函数FZ（z），

这里积分区域为直线x+y=z 的左下半平面（见图3.9）.将上述积分化为累次积分，有

令y=v-x，于是

图3.9

由概率密度的定义，可得Z 的概率密度为

类似地，也有

特别地，当X 与Y 相互独立时，则有

上两式称为卷积（convolution）公式.

例3.21　“库存准备”问题 假设该餐厅每天营业时间为6：00—22：00，分5 个时段，经统计每个时段平均销售量见表3.22，设X1，X2，X3，X4，X5 分别是相应时间段内薯条的实际消耗量，相互独立，且均服从泊松分布的随机变量.问最少需要多少库存能够有90%的把握保证供应？

表3.22

解　因为X1，X2，X3，X4，X5 相互独立，所以由泊松分布的可加性知

由题意，需求最小的x，使得P{X≤x} >0.9.

因此，至少应准备25 份薯条的原料.

例3.22　设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从N（0，1）分布，求函数Z=X+Y 的概率密度.

解　由题意得X，Y 的概率密度为

由卷积公式，有

由此可知，Z=X+Y 服从μ=0，σ2==2 的正态分布，即Z~N（0，2）.

类似地，利用卷积公式可得到下列定理.

定理3.8　若X，Y 相互独立，且，则

此结论可推广到更一般的情形，即有如下定理.

定理3.9　若Xi ~N（μi，）（i=1，2，…，n），且它们相互独立，则对任意不全为零的常数a1，a2，…，an，有

特别地，若X1，X2，…，Xn 相互独立，且Xi ~ N（μ，σ2）（i=1，2，…，n）.设，则有

（2）商的分布

设（X，Y）为二维连续型随机向量，其联合概率密度为f（x，y），则Z=的概率密度为

证　令u=y，z=，即x=uz，y=u.这一变换的雅可比行列式为

利用定理3.7 得联合概率密度(www.daowen.com)

因此，随机变量Z 的边缘概率密度为

特别地，当X 与Y 相互独立时， fZ（z）式即可改写成为

例3.23　设X，Y 相互独立，且X~N（0，1），Y~N（0，1），求Z=的概率分布.

解　由X，Y 相互独立可知（X，Y）的联合概率密度为

可以得到

这是柯西（Cauchy）分布的概率密度函数.

（3）积的分布

设（X1，X2）为二维连续型随机向量，其联合概率密度为f（x1，x2），则Y=X1X2 的概率密度为

证　令y=x1x2，z=x1，这一变换的雅可比行列式为

由定理3.7 得联合密度函数为

因此

（4）平方和分布

例3.24　设X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布，求Z=X2+Y2 的概率密度.

解　（X，Y）的联合概率密度为

①当z≤0 时，FZ（z）=0，则fZ（z）=0.

②当z>0 时，有

利用极坐标计算上述二重积分，得

因此，上式对z 求导可得

这正是自由度为2 的X2 分布的概率密度.

（5）M=max{X，Y}及N=min{X，Y}的分布

设随机变量X，Y 相互独立，其分布函数分别为FX（x），FY（y）.令

显然，M 及N 为随机变量.

对于M=max{X，Y}，若M≤z，必有X≤z，Y≤z.又X 与Y 相互独立，故M 的分布函数

同理，N=min{X，Y}的分布函数为

从上述结果，可不难推广到n 个相互独立的随机变量的情形如下.

设X1，X2，…，Xn 是n 个相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX1（x1），FX2（x2），…，FXn（xn），则M=max{X1，X2，…，Xn}，N=min{X1，X2，…，Xn}的分布函数分别为

特别地，当随机变量X1，X2，…，Xn 相互独立，且具有相同的分布时，则有

例3.25　某系统Q 由两个子系统q1 与q2 组成，连接的方式有3 种：

①q1 与q2 串联.

②q1 与q2 并联.

③q1 与q2 一个工作、一个备用.

已知子系统q1，q2 的寿命X，Y 均服从指数分布，其概率密度分别为

其中α>0，β>0，α≠β.设系统Q 的使用寿命为Z，在上述3 种连接情况下，求寿命Z 的概率密度.

解　①串联：

若子系统q1 与q2 有一个损坏，系统Q 便停止工作，故Q 的寿命Z=min{X，Y}.

由题设对X，Y 的概率密度积分得X，Y 的分布函数分别为

因X 与Y 相互独立，Z 的分布函数

从而，对z 求导得Z 的概率密度为

②并联：

因为只有当q1 与q2 两个子系统都损坏时，系统Q 才停止工作，故Q 的寿命

得Z 的分布函数为

于是z 的概率密度为

③一个工作、一个备用：

因为当q1 损坏时，q2 才开始工作，所以整个系统Q 的使用寿命Z=X+Y.

当z≤0 时，fZ（z）=0.

当z>0 时，由卷积公式，有

从而，Z=X+Y 的概率密度为