定义3.7　设（X，Y）是二维随机向量，如果存在某个非负可积函数f（u，v），使得对任意的实数x，y 都有

则称（X，Y）为二维连续型随机向量.函数f（x，y）称为（X，Y）的概率密度（或概率密度函数），或称为X 与Y 的联合概率密度或联合概率密度函数，记为（X，Y） ~f（x，y）.

由定义看出，（X，Y）的概率密度函数f（x，y）满足以下两个性质

①f(x,y) ≥0.

②

反之，任一满足上述两个性质的二元函数f（x，y），必是某个二维随机向量的概率密度函数.

由定义3.7 容易得到，（X，Y）的联合分布函数F（x，y）与它的概率密度f（x，y）之间还应满足如下的关系.

设D 是xoy 平面上一个可度量的平面区域，则有

由（X，Y）的联合分布函数公式可知，若密度函数f（x，y）在点（x，y）处连续时，有

例3.4　设二维随机向量（X，Y） ~f（x，y），并且

求

①A 的值.

②（X，Y）的分布函数.

③（X，Y）落在区域D={（x，y），y≥0，2x+3y≤6}上的概率.

④P{X≥Y}.

解　①由（X，Y）的概率密度函数f（x，y）满足的两个性质，有

②当x>0，y>0 时，分布函数

当x≤0 或Y≤0 时，则

所以

③区域D 如图3.3 所示，则

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图3.3

图3.4

④X≥Y 如图3.4 所示，则

例3.5　一机器制造直径为X 的轴，另一机器制造内径为Y 的轴衬，设（X，Y）的概率密度为

若轴衬的内径与轴的直径之差大于0.004，且小于0.036 时，则两者可以相适衬，求任一圆轴与任一轴衬相适衬的概率.

解　任一圆轴与任一轴衬相适衬的条件是

图3.5

注　如果G 是平面上的一个有界区域，其面积为SG，且SG≠0.若二维连续型随机向量（X，Y）的联合密度函数为

则称（X，Y）服从区域G 上的二维均匀分布.

容易验证二维均匀分布的联合密度函数f（x，y）满足

例3.6　在区间（0，1）中随机地取两个数，求这两数之差的绝对值小于的概率.

解　设X，Y 表示随机取到的两个数，由题意知（X，Y）服从区域G 上的二维均匀分布，其中G={（x，y）<x<1，0 <y<1}.

则所求概率为，如图3.6 所示.

若二维连续型随变量（X，Y）的联合密度函数为

其中μ1，μ2，σ1，σ2，ρ 均为常数，且σ1 >0，σ2 >0，-1 <ρ <1，则称（X，Y）服从参数μ1，μ2，，，ρ 的二维正态分布，记为（X，Y） ~N（μ1，μ2，，，ρ），（X，Y）称为二维正态随机向量.

可以证明，二维正态随机向量的联合概率密度f（x，y）满足二维连续型随机向量联合概率密度的两个性质.二维正态分布的联合密度函数的图形如图3.7 所示.

图3.6

图3.7