例2.12　一个半径为2 米的圆盘靶，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X 表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X 的分布函数.

解　①若x<0，因为事件{X≤x}是不可能事件，所以

②若0≤x≤2，由题意P{0≤X≤x}=kx2，k 是常数，为了确定k 的值，取x=2，有P{0≤X≤2}=22k，但事件{0≤X≤2}是必然事件，故P{0≤X≤2}=1，即22k=1，所以k=，即

于是　F（x）=P{X≤x}=P{X<0}+P{0≤X≤x}=.

③若x≥2，由于{x≤2}是必然事件，于是

综上所述

它的图形是一条连续曲线如图2.3 所示.

图2.3

另外，容易看到本例中X 的分布函数F（x）还可写成如下形式

其中

这就是说F（x）恰好是非负函数f（t）在区间（-∞，x）上的积分，这种随机变量X 我们称为连续型随机变量.一般地有如下定义.

定义2.5　对于随机变量X，如果存在某一非负函数f（x），使得对于任意实数x，有

则称X 为连续型随机变量（continuous random variable）.其中函数f（x）称为X 的概率密度函数，简称概率密度（density function）或分布密度.

由上式知连续型随机变量的分布函数是连续函数.

由定义知，概率密度f（x）具有以下性质：

性质1　f（x）≥0（-∞<x<+∞）.

性质2　

性质3　对任何实数a，b （a≤b），有

性质4　若f（x）在点x 处连续，则有

由性质2 知，介于曲线y=f（x）与x 轴之间的面积等于1（图2.4）.由性质3 知道，X 落在区间（a，b]的概率P{a<X≤b}等于区间（a，b]上曲线y=f（x）之下的曲线边梯形的面积（图2.5）.

图2.4

图2.5

由性质4 知，在f（x）的连续点x 处有(www.daowen.com)

在上式中，若不计高阶无穷小，有

即表示X 落在小区间（x，x+Δx]上的概率近似地等于f（x）Δx.

由连续性随机变量的定义知，对于任一常数a，有

这是连续型随机变量的一个特殊性质.

事实上，设X 的分布函数为F（x），Δx>0，则由{X=a}⊂{a-Δx<X≤a}得

由于F（x）是一连续函数，于是有

所以，有

因此，在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，即有

特别要指出的是，尽管{X=a}的概率为零，但它不一定是不可能事件.这事实也说明，不可能事件的概率一定为零；反之，概率为零的事件不一定是不可能事件.由此可知，概率为1 的事件也不一定是必然事件.

例2.13　设连续型随机变量X 的分布函数为

求：①A，B 的值.

②X 的概率密度f（x）.

解　①由分布函数性质F（-∞）=0 及F（+∞）=1，可得

解得，所以

②根据性质4，有

例2.14　设随机变量X 的概率密度为

求：①a 的值；

因此，分布函数为